42. Призма

Определения и обозначения

Призма — многогранник, у которого две грани являются равными многоугольниками в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами. Вершины одного основания соответствуют вершинам другого, а стороны — сторонам, параллельным им и равным им. Это соответствие позволяет понять, как части призмы соединены между собой.

Основания призмы — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях. Одно основание можно получить из другого параллельным переносом: все его точки перемещаются на одно и то же расстояние в одном направлении. Так задаётся соответствие между вершинами и сторонами оснований.

Боковая грань — параллелограмм, соединяющий соответствующие стороны оснований. Боковое ребро — сторона этой грани, соединяющая соответствующие вершины оснований. Эти понятия нужны, чтобы различать грани-основания и грани, которые связывают основания.

Высота призмы — расстояние между плоскостями её оснований. Расстояние измеряют по перпендикуляру, проведённому от одной плоскости к другой. У прямой призмы высота равна боковому ребру, а у наклонной эти величины различаются.

Как это устроено

Чтобы представить призму, возьмём два равных многоугольника в параллельных плоскостях. Соединим каждую вершину первого многоугольника с соответствующей вершиной второго отрезком; такие отрезки образуют боковые рёбра. Затем соединим соответствующие стороны оснований, и пространство между основаниями будет ограничено боковыми гранями.

Боковая грань является параллелограммом благодаря параллельности и равенству соответствующих сторон оснований и параллельности боковых рёбер. Вершины одного основания переходят в вершины другого при параллельном переносе, поэтому отрезки, соединяющие пары соответствующих вершин, параллельны и равны. У каждой боковой грани одна пара противоположных сторон лежит на соответствующих сторонах оснований, а другая — на боковых рёбрах. Значит, у грани обе пары противоположных сторон параллельны.

Если основание имеет n сторон, каждой его стороне соответствует одна сторона второго основания и одна боковая грань. Поэтому боковых граней n, а боковых рёбер также n. В каждом основании по n вершин, значит, вершин всего 2n; кроме рёбер оснований, есть n боковых рёбер, а всего рёбер 3n. Этот подсчёт помогает быстро проверять ответы в задачах.

Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Тогда боковые грани — прямоугольники, ведь их углы прямые. Если боковые рёбра не перпендикулярны основаниям, призма наклонная, а её боковые грани остаются параллелограммами, но не обязаны быть прямоугольниками. Различие определяется направлением боковых рёбер, а не формой многоугольника в основании.

Высота призмы — длина перпендикуляра между плоскостями оснований, то есть кратчайшее расстояние от одной плоскости до другой. У прямой призмы боковое ребро само перпендикулярно основаниям, поэтому его длина равна высоте. У наклонной ребро направлено под углом к плоскости основания и длиннее своей перпендикулярной составляющей. Если длина ребра равна l, а угол между ним и плоскостью основания — α, то высота h = l · sin α.

Элементы и виды призмы

Сначала по признаку перпендикулярности боковых рёбер определите, прямая призма или наклонная. Затем сравните боковые грани и высоту: у прямой призмы грани прямоугольные и высота совпадает с ребром, а у наклонной — нет. Основания в обоих случаях остаются равными и параллельными.

Разбор задач

Задача 1. В призме в основании лежит пятиугольник. Определите число боковых граней, боковых рёбер и вершин. Число сторон основания задаёт количество соответствующих боковых граней и рёбер, а оснований у призмы два. Поэтому отдельно посчитаем элементы, зависящие от сторон, и вершины обоих оснований.

1. У пятиугольника пять сторон, значит, каждой из них соответствует боковая грань. Боковых граней 5.
2. Из каждой вершины одного основания выходит боковое ребро к соответствующей вершине другого. В основании 5 вершин, поэтому боковых рёбер 5.
3. В каждом из двух оснований по 5 вершин. Всего вершин 5 + 5 = 10.

Ответ: 5 боковых граней, 5 боковых рёбер и 10 вершин. Проверка по общей формуле даёт 2n = 10 вершин при n = 5. Не следует путать число боковых рёбер с общим числом рёбер призмы: вместе с рёбрами оснований их было бы 15.

Задача 2. У прямой призмы боковое ребро равно 7 см. Найдите расстояние между плоскостями оснований. Искомое расстояние — это высота призмы, то есть длина перпендикуляра между основаниями. В прямой призме боковое ребро уже перпендикулярно плоскостям оснований, поэтому его длина совпадает с высотой.

1. Обозначим боковое ребро через l, а высоту через h. Для прямой призмы h = l.
2. Подставим известное значение: l = 7 см. Следовательно, h = 7 см.
3. Проверим единицы измерения: длина ребра и расстояние между плоскостями выражаются в сантиметрах.

Ответ: 7 см. Равенство использовано потому, что призма прямая. Для наклонной призмы такое решение не подошло бы: там необходимо учитывать угол наклона ребра.

Задача 3. В наклонной призме боковое ребро равно 10 см и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите высоту призмы. Ребро и его проекция на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник с высотой призмы. Боковое ребро — гипотенуза, а высота лежит напротив угла 30°.

1. Обозначим длину бокового ребра l = 10 см, угол α = 30°, высоту h. В таком треугольнике h = l · sin α.
2. Подставим значения: h = 10 · sin 30°. Так как sin 30° = ½, получаем h = 10 · ½ = 5 см.
3. Проверим результат: высота меньше бокового ребра, что соответствует наклонной призме.

Ответ: 5 см. Для нахождения высоты нужна составляющая бокового ребра, перпендикулярная основанию, а не всё ребро. В этой задаче её величину определили с помощью синуса угла между ребром и плоскостью основания.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что боковые грани любой призмы — прямоугольники. Так бывает у прямой призмы, поэтому свойство иногда ошибочно переносят на все призмы. Проверьте перпендикулярность боковых рёбер основаниям: если её нет, боковые грани — параллелограммы, не обязательно прямоугольники.

Ошибка: принимать боковое ребро за высоту наклонной призмы. Ребро наклонено, поэтому только часть его длины направлена перпендикулярно основаниям. Для проверки представьте прямоугольный треугольник: высота — катет, а ребро — гипотенуза; значит, высота не может быть длиннее ребра.

Ошибка: путать основания с боковыми гранями. Основания — равные многоугольники в параллельных плоскостях, а боковые грани соединяют их соответствующие стороны. Проверьте положение и форму грани: многоугольники лежат в параллельных плоскостях, а боковая грань связывает стороны этих многоугольников.

Ошибка: считать, что у призмы с n-угольным основанием n вершин. Число n относится к одному основанию, а оснований два, поэтому всего вершин 2n. Проверяйте ответ, складывая число вершин обоих оснований; для пятиугольной призмы, например, получится 5 + 5 = 10.

Связь с другими темами

Для понимания призмы нужны свойства параллельных прямых и плоскостей, а также знания о многоугольниках и параллелограммах. Они объясняют, почему основания не пересекаются, а боковые грани имеют форму параллелограммов. При изучении площади поверхности и объёма многогранников свойства призмы помогают разбирать её грани и размеры. Представление о призме также пригодится при решении задач на сечения, когда многогранник пересекают плоскостью.

Что запомнить

• У призмы два равных основания в параллельных плоскостях.
• Боковые грани призмы — параллелограммы.
• Число боковых граней равно числу сторон основания.
• У призмы с n-угольным основанием 2n вершин и 3n рёбер.
• Высота призмы — расстояние между плоскостями оснований.
• У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям и равны высоте.