"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Призму на плоском чертеже изображают так, чтобы сохранялась параллельность её соответствующих рёбер, а сечение показывают как многоугольник на гранях. Для построения сечения находят точки, где секущая плоскость пересекает рёбра, и соединяют их по сторонам граней. Главное — не просто соединить заданные точки, а проследить границу сечения в правильном порядке и проверить, что каждый её отрезок лежит на грани призмы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Изображение призмы — чертёж, на котором пространственную призму представляют на плоскости, сохраняя параллельность соответствующих рёбер. Оно помогает увидеть устройство фигуры и выполнять геометрические построения, хотя на рисунке форма может выглядеть иначе, чем в пространстве. Поэтому чертёж передаёт прежде всего важные геометрические связи, а не обязательно точные размеры.
Секущая плоскость — плоскость, пересекающая призму и задающая её сечение. Её положение определяют точки, через которые она проходит, либо другие условия задачи. Это понятие нужно, чтобы установить, какие грани и рёбра призмы будут пересечены.
Сечение призмы — многоугольник, полученный при пересечении призмы секущей плоскостью. Его стороны располагаются на гранях, а вершины возникают там, где плоскость встречает рёбра или вершины призмы. По сечению можно изучать форму части призмы и решать задачи о её элементах.
След секущей плоскости на грани — отрезок, по которому секущая плоскость пересекает плоскость этой грани. Именно такие отрезки образуют стороны сечения внутри призмы. Понятие следа помогает понять, какие точки можно соединять и где проходит граница многоугольника.
При изображении призмы сначала строят одно основание, затем равное ему второе и соединяют соответствующие вершины. Основания равны по определению призмы, поэтому их стороны и вершины должны соответствовать друг другу. Такое построение задаёт боковые грани и не позволяет случайно соединить вершины в неверном порядке.
Соответствующие боковые рёбра на чертеже проводят параллельно, потому что в самой призме они параллельны. При этом передняя, видимая часть фигуры обычно изображается сплошными линиями, а скрытая за гранями — штриховыми. Различие линий помогает читать объёмный чертёж и не принимать невидимое ребро за отсутствующее.
Сечение складывается из отрезков, каждый из которых лежит на одной грани. Причина в том, что плоскость пересекает плоскость грани по прямой, а внутри самой грани нужная часть этой прямой становится отрезком. Поэтому построение ведут по граням, а не проводят произвольные линии между точками в пространстве.
Вершины сечения находят в местах пересечения секущей плоскости с рёбрами призмы; иногда вершина сечения совпадает с вершиной призмы. Ребро служит общей границей двух граней, поэтому переход сечения с одной грани на соседнюю происходит через такую точку. Если заданная точка лежит внутри ребра, её отмечают на чертеже и учитывают при построении обеих прилегающих граней.
Чтобы получить весь многоугольник, последовательно находят точки на рёбрах, определяют стороны сечения на гранях и соединяют точки в порядке обхода. Такой порядок важен: соседние вершины должны быть связаны отрезком, лежащим на одной грани. После замыкания границы проверьте, что все её участки принадлежат граням и ни одна точка не пропущена.
В таблице собраны элементы, которые нужно различать при чтении чертежа и построении сечения. Сначала определите, какой части призмы соответствует элемент, затем проверьте, как он показан и какую роль играет в построении. Это помогает не путать рёбра самой призмы со сторонами сечения.
| Элемент | Что представляет в пространстве | Как показывают на чертеже | Роль при построении сечения |
|---|---|---|---|
| Основания | Равные многоугольники в параллельных плоскостях | Два равных основания с сохранением соответствия вершин | Задают верхнюю и нижнюю части призмы |
| Боковые грани | Параллелограммы, соединяющие основания | Четырёхугольники между соответствующими сторонами | В их плоскостях лежат стороны сечения |
| Боковые рёбра | Отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований | Параллельные отрезки; невидимые обычно штриховые | На них могут находиться вершины сечения |
| Точки пересечения с секущей плоскостью | Общие точки плоскости с рёбрами призмы | Отмеченные точки на рёбрах или вершинах | Определяют вершины многоугольника |
| Стороны сечения | Отрезки пересечения плоскости с гранями | Последовательно соединённые точки на границах граней | Образуют замкнутую границу сечения |
Условие. Постройте изображение треугольной призмы и обозначьте её вершины, основания и боковые рёбра. Нужно получить наглядную фигуру, в которой можно различить два основания и соединяющие их рёбра. Чертёж не обязан передавать пространственную форму без искажения, но параллельность соответствующих рёбер должна сохраняться.
Ответ. Призма обозначается ABC A₁B₁C₁, её основания — ABC и A₁B₁C₁, боковые рёбра — AA₁, BB₁ и CC₁. Невидимые части при необходимости показывают штриховыми линиями.
Условие. В треугольной призме секущая плоскость проходит через заданные точки на трёх рёбрах. Требуется построить сечение. Каждая заданная точка является возможной вершиной сечения, но сначала нужно выяснить, какие из них соединяются на одной грани.
Ответ. Сечение — замкнутый многоугольник, стороны которого построены на гранях призмы. Его точный вид зависит от расположения заданных точек.
Условие. В четырёхугольной призме заданы точки секущей плоскости на рёбрах, принадлежащих разным граням. Нужно построить полное сечение, включая ещё не найденные точки и стороны. Здесь важно использовать не только заданные отметки, но и связи между гранями и основаниями.
Ответ. Полное сечение состоит из найденных последовательно соединённых следов на гранях. Число его сторон определяется тем, какие рёбра пересекает плоскость, а не тем, что основание четырёхугольное.
Соединять точки сечения в произвольном порядке — значит рисковать получить линии, не принадлежащие граням. Так делают, когда воспринимают заданные точки как готовый список вершин многоугольника. Проверяйте для каждой пары, лежат ли точки на одной грани и является ли отрезок частью следа плоскости.
Проведение отрезка через ребро без проверки его концов часто кажется удобным способом быстрее замкнуть фигуру. Но сторона сечения должна находиться в плоскости одной грани, а не пересекать несколько граней произвольным образом. Перед проведением линии назовите грань, на которой она лежит, и убедитесь, что обе конечные точки принадлежат этой грани.
Не следует считать, что сечение обязательно проходит через все грани или имеет столько же сторон, сколько основание призмы. Такое ожидание возникает из-за привычки соотносить сечение с формой основания. Число сторон задаётся положением секущей плоскости; проверьте его по фактически найденным переходам между гранями.
Ещё одна ошибка — не различать видимые и невидимые рёбра и участки сечения. Из-за этого чертёж может показывать линию, которая в пространстве закрыта гранью, или скрывать важную часть границы. Выберите направление взгляда, определите закрытые участки и обозначьте их штриховыми линиями, если так принято в чертеже.
Для работы с изображением призмы нужно уметь показывать многогранники, обозначать их вершины и рёбра, а также применять свойства параллельных прямых и плоскостей. При построении следов используются сведения о пересечении прямой с плоскостью и двух плоскостей. Эти знания помогают находить недостающие точки, а не угадывать форму сечения.
Построения сечений пригодятся при дальнейшем изучении многогранников и взаимного расположения прямых и плоскостей. Они также помогают при решении задач на объёмы: сначала удобно разобраться в форме частей тела и их границах. Поэтому точный чертёж служит опорой для пространственных рассуждений.
Почему основания призмы на рисунке могут выглядеть неравными?
На чертеже пространственные фигуры обычно изображают с учётом перспективного искажения, поэтому равные основания могут выглядеть по-разному. Важно сохранять их равенство в геометрической модели и параллельность соответствующих сторон, а не видимые размеры на рисунке.
Как понять, какие рёбра призмы нужно изображать штриховыми?
Штриховыми обычно показывают рёбра, скрытые от наблюдателя гранями призмы. Это зависит от выбранного положения фигуры на чертеже: мысленно определите, какие части находятся за видимыми гранями.
Может ли сечение призмы быть треугольником?
Да, секущая плоскость может пересечь призму так, что граница сечения составит три отрезка. Число сторон сечения определяется положением плоскости, а не числом сторон основания.
Как найти следующую вершину сечения, если на грани задана только одна точка?
По одной точке на грани определить сторону сечения нельзя: нужно найти ещё одну точку пересечения секущей плоскости с границей этой грани. Её можно установить по дополнительным заданным точкам, уже построенным следам на соседних гранях или свойствам параллельных плоскостей.
Почему нельзя просто соединить все заданные точки по порядку?
Соседние вершины сечения должны лежать на одной грани, а произвольное соединение может провести отрезок сквозь внутренность призмы. Проверяйте каждый отрезок: он должен быть следом секущей плоскости на конкретной грани.
43. Изображение призмы и построение ее сечений
