44. Прямая призма

Определения и обозначения

Призма — многогранник, у которого две равные грани лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани являются параллелограммами. Эти равные грани называют основаниями, а параллелограммы между ними — боковыми гранями. Такое определение позволяет отличать призму от других многогранников. Основания задают форму призмы, а их расположение показывает, как она устроена в пространстве.

Боковое ребро призмы — отрезок, соединяющий соответствующие вершины её оснований. Каждой вершине одного основания соответствует вершина другого, поэтому боковые рёбра связывают два многоугольника. Они образуют боковые грани вместе со сторонами оснований. По направлению и длине этих рёбер можно понять, прямая призма или наклонная.

Прямая призма — призма, боковые рёбра которой перпендикулярны плоскостям оснований. Перпендикулярность означает, что угол между ребром и плоскостью равен 90°. Она приводит к важному свойству: боковые грани становятся прямоугольниками. Это определение нужно, чтобы выбрать формулы, применимые именно к прямой призме.

Высота призмы — расстояние между плоскостями её оснований. Расстояние между параллельными плоскостями измеряют по перпендикуляру, проведённому от одной плоскости к другой. У прямой призмы этот перпендикуляр совпадает с боковым ребром, поэтому высота равна его длине. Для наклонной призмы такого совпадения в общем случае нет.

Как это устроено

Чтобы мысленно получить призму, представьте два одинаковых многоугольника в разных параллельных плоскостях. Соедините каждую вершину одного многоугольника с соответствующей вершиной другого отрезком. Равенство оснований обеспечивает одинаковую форму с двух концов, а параллельность плоскостей — их постоянное взаимное направление. Соединяющие отрезки вместе со сторонами оснований образуют боковые грани.

Боковая грань соединяет одну сторону нижнего основания с соответствующей стороной верхнего. Эти стороны лежат в параллельных плоскостях, поэтому они параллельны друг другу. Два других края грани — боковые рёбра призмы; они тоже параллельны, поскольку соответствуют одному направлению переноса между основаниями. Четырёхугольник с двумя парами параллельных противоположных сторон является параллелограммом, поэтому боковые грани любой призмы имеют такую форму.

В прямой призме каждое боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. Если прямая перпендикулярна плоскости, она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения. В частности, боковое ребро перпендикулярно стороне основания, к которой примыкает. Эта сторона и ребро образуют угол боковой грани, а параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.

Плоскости оснований призмы параллельны, а боковое ребро прямой призмы перпендикулярно обеим. Оно соединяет точки этих плоскостей по кратчайшему направлению, то есть проходит по перпендикуляру, которым измеряют расстояние между плоскостями. Поэтому длина бокового ребра равна высоте. У наклонной призмы ребро идёт под углом к основаниям, и его длина включает не только высоту, но и наклонную составляющую.

Каждая боковая грань прямой призмы — прямоугольник с одной и той же высотой h. Ширина такого прямоугольника равна соответствующей стороне основания, поэтому его площадь равна произведению этой стороны на h. Сумма площадей всех боковых прямоугольников равна h, умноженному на сумму сторон основания. Сумма длин сторон — это периметр Pосн, значит, Sбок = Pосн · h.

Сравнение произвольной и прямой призмы

Сначала определите, какие свойства подходят к рассматриваемой призме: у любой призмы боковые грани параллелограммы, но прямоугольники — только у прямой. Затем используйте соответствующую строку таблицы, чтобы выбрать способ нахождения высоты и боковой поверхности. Формула Pосн · h относится к прямой призме.

Разбор задач

Задача 1. У прямой призмы сторона основания равна 3 см, а высота — 5 см. Найдите длину бокового ребра. Здесь длина стороны основания не нужна: требуется найти боковое ребро, а у прямой призмы оно равно высоте. Поэтому достаточно сопоставить данные задачи с этим свойством.

1. Запишем известную высоту: h = 5 см.
2. Для прямой призмы используем равенство l = h, где l — длина бокового ребра.
3. Получаем l = 5 см; значение стороны основания на результат не влияет.

Ответ: 5 см.

Задача 2. Основание прямой призмы — прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см, высота призмы равна 6 см. Найдите площадь боковой поверхности. Каждая боковая грань — прямоугольник высотой 6 см, а сумма их ширин равна периметру основания. Значит, сначала найдём этот периметр, а потом применим формулу боковой поверхности.

1. Периметр основания: Pосн = 2 · (3 + 4) = 14 см.
2. Площадь боковой поверхности: Sбок = Pосн · h = 14 · 6 = 84 см².
3. Проверим единицы: сантиметры умножили на сантиметры, поэтому результат выражен в квадратных сантиметрах.

Ответ: 84 см².

Задача 3. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 6 см. Высота призмы равна 4 см. Найдите площадь полной поверхности. Она состоит из боковой поверхности и двух одинаковых треугольных оснований. Поэтому сначала вычислим боковую площадь и площадь одного основания, затем сложим их в нужном количестве.

1. Периметр основания: Pосн = 5 + 5 + 6 = 16 см. Тогда Sбок = 16 · 4 = 64 см².
2. Высота треугольника к стороне 6 см делит её пополам: получаются отрезки по 3 см. По теореме Пифагора высота равна √(5² − 3²) = 4 см.
3. Площадь основания: Sосн = ½ · 6 · 4 = 12 см². Полная площадь равна 64 + 2 · 12 = 88 см².

Ответ: 88 см².

Типичные ошибки

Называть прямой любую призму — значит не проверять главное условие определения. Прямой призма является только тогда, когда её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований; у наклонной они расположены под углом. Ошибку можно проверить по условию или чертежу: если прямой угол не задан и его нельзя доказать, считать призму прямой нельзя.

Иногда считают, что боковые грани любой призмы — прямоугольники. Так происходит, потому что на рисунках часто изображают прямые призмы, но у произвольной призмы грани являются параллелограммами. Чтобы проверить себя, выясните, перпендикулярны ли боковые рёбра основаниям. Только при такой перпендикулярности можно называть боковые грани прямоугольниками.

Высоту могут принять за длину бокового ребра без проверки. Эти величины равны у прямой призмы, но не обязательно у наклонной: высота измеряется перпендикулярно плоскостям оснований. Перед подстановкой проверьте, есть ли в условии перпендикулярность. Если призма наклонная, высоту нужно находить отдельно.

В формулу боковой поверхности иногда подставляют площадь основания вместо его периметра. Это смешение разных величин: боковые прямоугольники складываются по ширинам, а ширины в сумме дают длину контура основания. Проверка проста: используйте Sбок = Pосн · h, а не Sосн · h. Единицы результата также должны быть квадратными, например см².

Связь с другими темами

Для изучения призмы понадобятся свойства параллельных прямых и плоскостей: с их помощью обосновывают форму боковых граней. Нужно также понимать, что значит перпендикулярность прямой и плоскости, поскольку она отличает прямую призму от наклонной. Площади многоугольников позволяют вычислять площади оснований и полную поверхность.

Свойства прямой призмы пригодятся при изучении площади поверхности и объёма призмы. Периметр и площадь основания вместе с высотой дают возможность составлять формулы и решать практические задачи. Представление о высоте и боковых рёбрах помогает также находить расстояния и углы в пространственных фигурах.

Что запомнить

• Основания призмы — равные многоугольники в параллельных плоскостях.
• Боковые грани любой призмы — параллелограммы.
• У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям.
• Боковые грани прямой призмы — прямоугольники.
• Высота прямой призмы равна длине её бокового ребра.
• Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту.