45. Параллелепипед

Определения и обозначения

Параллелепипед — многогранник, у которого все шесть граней являются параллелограммами. Две противоположные грани можно выбрать основаниями, а четыре остальные назвать боковыми гранями. Такое разделение помогает описывать фигуру и разбирать, какие её грани равны и параллельны.

Диагональ параллелепипеда — отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Она проходит внутри многогранника и называется пространственной диагональю. Диагональ грани, напротив, соединяет вершины одной грани и лежит на её поверхности.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. Его двугранные углы, то есть углы между соседними гранями, прямые. Это свойство позволяет применять теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам внутри фигуры.

Куб — прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются квадратами. Значит, все его рёбра равны, а углы между соседними гранями прямые. Выделение куба как особого случая помогает использовать свойства прямоугольного параллелепипеда, когда все три измерения одинаковы.

Как это устроено

Чтобы получить параллелепипед, возьмём параллелограмм за основание и проведём через каждую его вершину равные и параллельные отрезки. Их концы образуют второе основание, а соответствующие вершины соединяются боковыми рёбрами. Боковые грани тоже оказываются параллелограммами: в каждой из них противоположные стороны параллельны, потому что это либо стороны исходного основания, либо равные параллельные отрезки.

Из устройства фигуры следует, что противоположные грани параллелепипеда параллельны. Чтобы увидеть, почему они ещё и равны, рассмотрим их стороны: у двух таких граней соответствующие стороны попарно параллельны и равны. Поэтому одна грань совмещается с другой параллельным переносом, а значит, они равны. Например, основания равны, как и каждая пара противоположных боковых граней.

Пространственные диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Это можно обосновать через сечения: плоскость, проходящая через подходящие рёбра или диагонали граней, образует параллелограммы. Диагонали каждого такого параллелограмма пересекаются и делятся пополам. Полученная точка оказывается общей серединой пространственных диагоналей параллелепипеда.

У прямоугольного параллелепипеда пусть три измерения — длины рёбер, выходящих из одной вершины, — равны a, b и c. Сначала по теореме Пифагора находим квадрат диагонали основания: a² + b². Затем эта диагональ и ребро c образуют прямоугольный треугольник с пространственной диагональю в качестве гипотенузы. Поэтому d² = a² + b² + c², то есть d = √(a² + b² + c²).

У прямоугольного параллелепипеда все четыре пространственные диагонали равны. Для каждой из них квадрат длины выражается одной и той же суммой квадратов измерений a² + b² + c²: меняется только то, какие рёбра берутся в соответствующем прямоугольном треугольнике. Равенство квадратов длин означает равенство самих длин, поскольку длины положительны. У произвольного параллелепипеда такого вывода сделать нельзя.

Сравнение параллелепипеда и его частных видов

Сначала определите, к какому виду относится фигура: от этого зависит, какие свойства можно использовать. Например, формула диагонали из таблицы применима к прямоугольному параллелепипеду, а не к любому параллелепипеду. Куб подчиняется свойствам обеих специальных фигур.

Разбор задач

Задача 1. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ назовите грани, параллельные грани ABCD, и укажите равную ей грань. Нужно найти грань напротив ABCD, а не соседние с ней боковые грани. По устройству параллелепипеда противоположные грани параллельны и равны.

1. Грань ABCD — одно основание параллелепипеда.
2. Противоположное основание A₁B₁C₁D₁ параллельно ABCD.
3. По свойству противоположных граней A₁B₁C₁D₁ равна ABCD.

Ответ: параллельная грань — A₁B₁C₁D₁; она же равна ABCD. Соседние грани не подходят, потому что имеют общие рёбра с ABCD и не являются противоположными.

Задача 2. Диагональ параллелепипеда пересекает плоскость, проходящую через середины его рёбер. Определите, в каком отношении точка пересечения делит диагональ. Для решения важно, что пространственные диагонали параллелепипеда пересекаются и делятся пополам. Эта общая точка является серединой каждой из них.

1. Обозначим диагональ концами A и C₁, а точку пересечения с указанной плоскостью — O.
2. Точка O — общая середина пространственных диагоналей параллелепипеда, поэтому AO = OC₁.
3. Равные части дают отношение AO : OC₁ = 1 : 1.

Ответ: точка делит диагональ в отношении 1 : 1. То есть она находится на одинаковом расстоянии от обоих концов диагонали.

Задача 3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 12 см. Найдите длину пространственной диагонали и объясните, почему все остальные диагонали имеют такую же длину. Поскольку все грани — прямоугольники, можно последовательно применить теорему Пифагора.

1. Диагональ основания со сторонами 3 см и 4 см равна √(3² + 4²) = √25 = 5 см.
2. Эта диагональ, ребро длиной 12 см и пространственная диагональ образуют прямоугольный треугольник.
3. По теореме Пифагора d = √(5² + 12²) = √169 = 13 см.
4. У прямоугольного параллелепипеда квадрат любой пространственной диагонали равен 3² + 4² + 12², поэтому остальные диагонали тоже имеют длину 13 см.

Ответ: 13 см; все пространственные диагонали равны.

Типичные ошибки

Ошибка — называть пространственной диагональю диагональ грани. Их путают, потому что оба отрезка соединяют вершины, но у диагонали грани обе вершины принадлежат одной грани, а у пространственной — нет. Проверьте, лежит ли весь отрезок на поверхности одной грани: если да, это диагональ грани.

Ошибка — считать равными любые две грани параллелепипеда. Верны только утверждения о противоположных гранях; соседние могут иметь разные размеры, например при неодинаковых длинах рёбер. Перед выводом о равенстве проверьте, что грани действительно противоположны, а не просто входят в один многогранник.

Ошибка — переносить свойства прямоугольного параллелепипеда на любой параллелепипед. Так, равенство всех пространственных диагоналей доказано для прямоугольной фигуры, но не является общим свойством. Сначала установите, что грани прямоугольные; без этого условия пользоваться соответствующей формулой и выводом нельзя.

Ошибка — складывать измерения, вычисляя диагональ прямоугольного параллелепипеда. Формула требует сложить квадраты измерений, а затем извлечь корень: d = √(a² + b² + c²). Проверить вычисление можно по теореме Пифагора: при каждом переходе длина гипотенузы должна находиться из суммы квадратов катетов.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в параллелепипеде, нужно знать определение параллелограмма и его свойства. При доказательстве равенства граней также полезны признаки равенства фигур: они позволяют обосновать, что две грани совпадают по форме и размерам.

Для вычисления пространственных диагоналей нужна теорема Пифагора и умение распознавать прямоугольные треугольники в пространственной фигуре. Задачу удобно решать в два шага: сначала найти диагональ грани, затем использовать её для нахождения диагонали всего параллелепипеда.

Свойства параллелепипеда пригодятся при изучении площадей и объёмов многогранников, а также при решении задач на расстояния и углы в пространстве. Умение находить диагонали помогает связывать геометрические размеры тела с его вершинами и гранями.

Что запомнить

• У параллелепипеда шесть граней, и каждая из них — параллелограмм.
• Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
• Пространственные диагонали параллелепипеда пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
• У прямоугольного параллелепипеда грани — прямоугольники.
• Квадрат пространственной диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений.
• Куб — прямоугольный параллелепипед с квадратными гранями.