13. Параллелепипед

Определения и обозначения

Параллелепипед — многогранник, у которого все шесть граней являются параллелограммами. Грани — плоские многоугольники, рёбра — их стороны, а вершины — точки, где сходятся рёбра. Эти названия помогают описывать части тела и указывать, какие элементы сравниваются в задаче.

Две противоположные грани можно выбрать основаниями параллелепипеда, а четыре остальные грани тогда называют боковыми. Основаниями могут стать разные пары противоположных граней: выбор зависит от того, как удобнее рассматривать тело. Это различие особенно полезно, когда речь идёт о высоте или боковых рёбрах.

Диагональ параллелепипеда — отрезок, соединяющий две вершины, которые не принадлежат одной грани. Она проходит через внутреннюю часть многогранника, в отличие от диагонали грани, целиком лежащей на поверхности. По этому определению можно проверить, о какой именно диагонали говорится в задаче.

Параллелепипед называют прямым, если его боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания; если они наклонены к ней, параллелепипед наклонный. В прямом случае боковое ребро задаёт высоту, в наклонном высота измеряется перпендикулярно основаниям. Поэтому одного взгляда на длину ребра недостаточно, чтобы определить высоту.

Как это устроено

Параллелепипед можно получить, перенося один параллелограмм на некоторый вектор, то есть сдвигая каждую его точку одинаково и в одном направлении. Стороны исходного параллелограмма при переносе становятся равными и параллельными сторонами второго, а соответствующие вершины соединяются параллельными отрезками. Поэтому боковые грани тоже оказываются параллелограммами, а противоположные грани — параллельными и равными. Так из переноса следуют основные свойства формы, а не просто набор её названий.

В обозначении ABCDA₁B₁C₁D₁ вершины ABCD образуют один параллелограмм, а вершины A₁B₁C₁D₁ — противоположный ему. Боковые грани можно записать как ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁ и DAA₁D₁: каждая пара соседних букв задаёт ребро грани. Рёбра, параллельные AB, — AB, CD, A₁B₁ и C₁D₁; аналогично выделяют ещё две группы по направлениям. Такое обозначение делает видимыми соответствия между нижней и верхней гранями и не даёт перепутать противоположные элементы.

У параллелепипеда четыре диагонали тела, каждая соединяет пару противоположных вершин. Чтобы понять, почему они делятся пополам в одной точке, можно представить их как диагонали центрально-симметричной фигуры: поворот вокруг её центра на 180° переводит каждую вершину в противоположную. Точка симметрии поэтому находится посередине каждой диагонали. Другой способ — рассмотреть грани-параллелограммы и последовательно применить свойство их диагоналей.

Диагональ грани соединяет соседние в пространственной фигуре вершины, расположенные на одной грани, например AC в ABCD. Диагональ тела соединяет вершины, которые не лежат на общей грани, например AC₁ или BD₁. Диагонали граней помогают находить точки на поверхности и строить сечения, а пространственные диагонали проходят через тело. Если не различать эти отрезки, можно выбрать не ту длину или неверно применить свойство.

В прямом параллелепипеде боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, поэтому любое из них соединяет основания по кратчайшему перпендикулярному направлению. Его длина равна расстоянию между плоскостями оснований — высоте. У наклонного параллелепипеда ребро идёт по наклонному направлению, и в образованном прямоугольном треугольнике оно является гипотенузой, а высота — перпендикулярным катетом. Поэтому ребро обычно длиннее высоты.

Виды параллелепипедов и их основные свойства

Сначала найдите в таблице условие определения, а затем проверьте, какие свойства из него следуют. Например, перпендикулярность боковых рёбер основанию указывает на прямой параллелепипед, но ещё не означает, что основание прямоугольное. Для формулы диагонали с измерениями a, b и c нужны прямоугольные грани.

Разбор задач

Задача 1. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ перечислите все рёбра, параллельные ребру AB, и назовите противоположные грани. Удобно сначала распределить рёбра по направлениям: у параллелепипеда каждой стороне основания соответствуют параллельные ей боковые рёбра и рёбра верхнего основания. Затем по обозначениям вершин найти пары граней без общих вершин.

1. Ребро AB лежит в основании ABCD. Противоположная ему сторона этого параллелограмма — CD, поэтому AB ∥ CD.
2. Верхнее основание получено переносом нижнего: ребро A₁B₁ соответствует AB, а C₁D₁ соответствует CD. Значит, все рёбра, параллельные AB: AB, CD, A₁B₁ и C₁D₁.
3. Пары противоположных граней: ABCD и A₁B₁C₁D₁; ABB₁A₁ и CDD₁C₁; BCC₁B₁ и DAA₁D₁. В каждой паре грани не имеют общих вершин.

Ответ: AB, CD, A₁B₁, C₁D₁; противоположные грани перечислены тремя парами. Такой способ полезен тем, что параллельность проверяется по соответствию рёбер, а противоположность граней — по вершинам.

Задача 2. Диагонали AC₁ и BD₁ параллелепипеда пересекаются в точке O. Докажите, что O — середина каждой из них. Нужно связать эти диагонали с одной гранью или применить общее свойство диагоналей тела, доказанное выше.

1. Рассмотрим четырёхугольник AC₁BD₁. Его противоположные стороны AC₁ и BD₁ пересекаются в точке O, поэтому для доказательства удобно проверить свойства его диагоналей.
2. Отрезки AB и C₁D₁ параллельны и равны: это соответствующие рёбра противоположных граней. Аналогично AD₁ и BC₁ параллельны и равны, поскольку получаются переносом друг друга.
3. Следовательно, четырёхугольник AC₁BD₁ — параллелограмм. Диагонали параллелограмма AC₁ и BD₁ пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Ответ: AO = OC₁ и BO = OD₁, поэтому O — середина обеих диагоналей. Доказательство основано на свойстве параллелограмма, а не на измерении отрезков на чертеже.

Задача 3. Прямоугольный параллелепипед имеет измерения a = 3, b = 4, c = 12. Найдите его диагональ. Числовые значения в условии для примера выбраны явно; в другой задаче их нужно подставить в ту же формулу. Сначала найдём диагональ основания, затем — диагональ тела.

1. Диагональ основания d₁ по теореме Пифагора равна √(a² + b²) = √(3² + 4²) = 5.
2. Эта диагональ, третье измерение c и пространственная диагональ образуют прямоугольный треугольник. Поэтому d = √(d₁² + c²) = √(5² + 12²) = √169 = 13.

Ответ: 13. В общем случае два последовательных применения теоремы Пифагора дают d = √(a² + b² + c²); формула применима именно потому, что углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Типичные ошибки

Диагональ грани иногда называют диагональю параллелепипеда. Путаница возникает потому, что оба отрезка соединяют вершины, но у диагонали тела концы не должны лежать на одной грани. Проверьте, можно ли указать одну грань, содержащую весь отрезок: если можно, это диагональ грани.

Иногда все пары противоположных граней автоматически называют основаниями. На деле основаниями выбирают одну пару, а статус остальных граней определяется относительно этого выбора: они боковые. Чтобы проверить обозначения, назовите сначала выбранные основания и только потом боковые грани.

У наклонного параллелепипеда боковое ребро могут принять за высоту. Ошибка появляется, если считать всякое соединение оснований кратчайшим расстоянием между ними; таким расстоянием является только перпендикуляр. Опустите мысленно перпендикуляр на плоскость основания: его длина и есть высота, а наклонное ребро — другая сторона прямоугольного треугольника.

Свойства прямоугольного параллелепипеда иногда переносят на любой параллелепипед, например считают все его пространственные диагонали равными. Это верно для прямоугольного параллелепипеда, но у произвольного тело может быть наклонным или иметь непрямоугольные основания. Перед применением свойства проверьте условие: равенство всех граней-прямоугольников должно быть дано или доказано.

Связь с другими темами

Для изучения параллелепипеда нужны свойства параллелограмма: равенство и параллельность противоположных сторон, а также деление диагоналей пополам. Полезно уверенно различать параллельные и перпендикулярные прямые и плоскости: это позволяет понять, где находится высота и как измеряется расстояние между основаниями. Эти идеи понадобятся при изучении прямой и правильной призмы, пространственных сечений, углов и расстояний. В задачах на прямоугольный параллелепипед к ним добавляется теорема Пифагора.

Что запомнить

• Все шесть граней параллелепипеда — параллелограммы.
• Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
• Рёбра параллелепипеда разбиваются на три группы параллельных и равных рёбер.
• Диагонали параллелепипеда пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
• У прямого параллелепипеда боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания.
• У прямоугольного параллелепипеда пространственная диагональ находится последовательным применением теоремы Пифагора.