12. Тетраэдр

Определения и обозначения

Тетраэдр — многогранник, состоящий из четырёх треугольных граней. Его можно считать треугольной пирамидой: у пирамиды треугольное основание и одна вершина вне плоскости основания, а вместе они образуют ровно четыре треугольные грани. Это название помогает сразу представить устройство тела.

Грань тетраэдра — один из четырёх треугольников, ограничивающих многогранник. Её обозначают буквами вершин, например ABC означает грань с вершинами A, B и C. Такое обозначение позволяет точно указать треугольник, даже если на чертеже часть тела скрыта.

Ребро тетраэдра — отрезок пересечения двух его граней; всего у тетраэдра шесть рёбер. Например, грани ABC и ABD пересекаются по ребру AB. Рёбра соединяют вершины и образуют границы граней.

Правильный тетраэдр — тетраэдр, все грани которого являются равными правильными треугольниками. Правильный треугольник имеет три равные стороны, поэтому у правильного тетраэдра равны все шесть рёбер. Это определение отличает его от тетраэдра произвольной формы.

Как это устроено

Чтобы получить тетраэдр, возьмём треугольник ABC и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим D с тремя вершинами основания: получатся боковые грани ABD, ACD и BCD. Вместе с основанием ABC они ограничивают пространственную фигуру. Если бы D лежала в плоскости ABC, объёмной пирамиды не возникло бы: все точки оказались бы в одной плоскости.

У тетраэдра четыре вершины, обозначаемые, например, A, B, C и D. Любые три из этих четырёх точек задают одну грань: ABC, ABD, ACD или BCD. Других троек нет, поэтому граней тоже четыре. Четвёртая вершина каждой такой тройки не входит в соответствующую грань и находится по другую сторону от её плоскости.

Грани расположены так, что любые две из них имеют общую вершину или общее ребро. Например, ABC и ABD имеют общими вершины A и B, значит, пересекаются по AB; а грани ABC и ACD имеют общее ребро AC. У каждой вершины сходятся три грани: около A это ABC, ABD и ACD. Так происходит потому, что через вершину проходят три ребра к остальным вершинам, а соседние пары этих рёбер образуют три треугольника.

На чертеже сначала определите четыре вершины и соедините каждую пару: так можно проверить, что учтены все шесть рёбер. Затем составьте грани по тройкам вершин. Если одна грань выбрана основанием, три остальные будут боковыми; при основании ABC и вершине D это ABD, ACD и BCD. Видимое ребро рисуют сплошной линией, невидимое часто изображают штриховой, однако оба являются рёбрами тела.

Произвольный тетраэдр может быть вытянутым или иметь грани разных размеров и формы. В правильном тетраэдре все четыре грани равны и каждая представляет собой правильный треугольник. Следовательно, стороны каждой грани равны, а поскольку рёбра входят в эти грани, все рёбра тетраэдра имеют одинаковую длину. Для признания тетраэдра правильным недостаточно, чтобы равными оказались только некоторые его стороны.

Элементы тетраэдра

Используйте таблицу, чтобы быстро проверить число элементов или уточнить, что именно называется гранью и ребром. При решении задачи сначала установите, идёт ли речь о произвольном или правильном тетраэдре: равенство всех рёбер относится только к правильному. На чертеже учитывайте и скрытые элементы.

Разбор задач

Задача 1. Назовите вершины, рёбра и грани тетраэдра ABCD; укажите, какие грани имеют общее ребро AB. Чтобы не пропустить элементы, полезно составить грани из троек букв, а рёбра — из пар. Затем можно сравнить названия граней и найти те, в которых одновременно встречаются A и B.

1. Вершинами служат четыре обозначенные точки: A, B, C и D.
2. Перечислим все пары вершин: AB, AC, AD, BC, BD и CD. Это шесть рёбер тетраэдра.
3. Составим тройки вершин: грани ABC, ABD, ACD и BCD.
4. Чтобы найти грани с ребром AB, выберем тройки, содержащие обе буквы A и B. Это ABC и ABD.

Ответ: вершины A, B, C, D; рёбра AB, AC, AD, BC, BD, CD; грани ABC, ABD, ACD, BCD. Общее ребро AB имеют грани ABC и ABD.

Задача 2. Основание тетраэдра — треугольник ABC, вершина — D. Перечислите боковые грани и рёбра, не лежащие в плоскости основания. Здесь важно отделить основание от боковых частей пирамиды: все боковые грани должны содержать вершину D, а боковые рёбра соединяют D с вершинами основания.

1. Основание уже задано: это грань ABC, лежащая в плоскости основания.
2. Добавим D к каждой паре вершин основания: получим боковые грани ABD, ACD и BCD.
3. Соединим D с каждой вершиной основания: боковые рёбра — AD, BD и CD.

Ответ: боковые грани ABD, ACD, BCD; рёбра, не лежащие в плоскости основания, — AD, BD, CD. Рёбра AB, BC и CA принадлежат плоскости основания.

Задача 3. У правильного тетраэдра длина ребра равна 6. Найдите периметр одной грани и сумму длин всех рёбер. Правильность здесь даёт ключевое условие: все грани — правильные треугольники, значит, каждая сторона грани равна 6. Для общей суммы остаётся учесть число рёбер.

1. Периметр грани равен сумме трёх её сторон: 6 + 6 + 6 = 18.
2. У тетраэдра шесть рёбер, и каждое имеет длину 6.
3. Сумма длин рёбер равна 6 · 6 = 36.

Ответ: периметр грани — 18, сумма длин всех рёбер — 36.

Типичные ошибки

На плоском рисунке треугольник иногда принимают за весь тетраэдр. Ошибка возникает потому, что пространственное тело изображают на листе, где часть его формы не видна. Проверьте себя: у тетраэдра должны быть четыре вершины, а не три, и точка вершины пирамиды не должна лежать в плоскости основания.

Можно решить, что граней только три, если именно столько видно на чертеже. Но одна грань может оказаться за телом, поэтому видимость не определяет количество граней. Составьте все тройки из четырёх вершин: получится четыре грани, включая скрытую.

Другая ошибка — называть гранью отрезок или, наоборот, считать ребро целым треугольником. Грань — плоский треугольник, а ребро — общий отрезок двух граней. Для проверки назовите объект: если нужны три вершины, это грань; если две — ребро.

Наконец, не каждый тетраэдр является правильным. Такое предположение часто появляется из-за аккуратного или симметричного чертежа, но рисунок не доказывает равенство длин. Убедитесь, что правильность дана в условии или выведена из доказанных равенств всех граней.

Связь с другими темами

Для работы с тетраэдром нужны понятия многогранника, пирамиды, вершины, ребра и грани, а также представление о плоскостях в пространстве. Понимание треугольной пирамиды помогает определять основание и боковые элементы, а обозначения вершин — разбирать пространственные чертежи. Эти знания пригодятся при изучении сечений многогранников и взаимного расположения прямых и плоскостей. Они также служат основой для задач на площади поверхностей и объёмы.

Что запомнить

• Тетраэдр — треугольная пирамида.
• У тетраэдра 4 вершины, 6 рёбер и 4 грани.
• Все грани тетраэдра — треугольники.
• У каждой вершины тетраэдра сходятся три грани.
• У правильного тетраэдра все грани — равные правильные треугольники.
• Каждая грань задаётся тремя вершинами.