12. Тетраэдр

Определения и обозначения

Тетраэдр — многогранник, поверхность которого состоит из четырёх треугольников. Его можно рассматривать как частный случай треугольной пирамиды: у такой пирамиды треугольное основание и три боковые грани, то есть всего четыре треугольника. Это определение помогает отличить тетраэдр от многогранников с большим числом граней.

Вершина тетраэдра — одна из четырёх точек, в которых сходятся его рёбра. Вершины обычно обозначают заглавными латинскими буквами, например A, B, C и D. Это нужно, чтобы однозначно называть элементы фигуры и записывать условия задач.

Ребро тетраэдра — отрезок, соединяющий две его вершины. Например, AB обозначает ребро с концами A и B. Различение ребра и вершины необходимо при описании построений: точка и отрезок — разные геометрические объекты.

Грань тетраэдра — треугольник, ограниченный тремя рёбрами и принадлежащий поверхности многогранника. Грань ABC, например, ограничена рёбрами AB, BC и CA. Это помогает не путать грани тетраэдра с треугольниками, которые могут располагаться внутри него.

Как это устроено

Тетраэдр можно задать четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости. Условие о неплоскости существенно: если все точки находятся в одной плоскости, объёмный многогранник не получится. Соединив каждую пару точек, получают отрезки, которые образуют границы треугольных граней. Так задаётся тетраэдр ABCD с вершинами A, B, C и D.

Число вершин сразу равно четырём, поскольку заданы четыре точки. Ребро соответствует паре вершин, а выбрать пару из четырёх можно шестью способами: AB, AC, AD, BC, BD и CD. Грань задаётся тройкой вершин; из четырёх вершин можно составить четыре тройки, поэтому граней тоже четыре: ABC, ABD, ACD и BCD. У каждой такой тройки есть три соединяющих её ребра.

Основанием можно выбрать любую грань, например ABC. Тогда четвёртая вершина D не лежит в плоскости основания, а три боковые грани — ABD, BCD и ACD — сходятся в ней. Такой выбор не меняет сам тетраэдр, а лишь помогает описать его как пирамиду. Поэтому при решении задачи основание выбирают так, чтобы удобнее было рассматривать нужные рёбра или грани.

Любые две вершины тетраэдра соединены ребром: при четырёх вершинах присутствуют все шесть возможных пар. Для одной вершины, например A, это рёбра AB, AC и AD. Четвёртого ребра, выходящего из A, быть не может: других вершин, к которым оно могло бы вести, нет. Так объясняется, почему в каждой вершине сходятся ровно три ребра.

Тетраэдр и треугольная пирамида — не разные виды фигур: тетраэдр является треугольной пирамидой, а треугольная пирамида имеет четыре треугольные грани. Словом «тетраэдр» обычно подчёркивают устройство поверхности, состоящей из четырёх треугольников. Слово «пирамида» удобнее, когда выбраны основание и вершина. Никаких дополнительных условий, например равенства рёбер, само название «тетраэдр» не задаёт.

Элементы тетраэдра

Пользуйтесь таблицей, чтобы проверить, какие элементы нужно перечислить или сосчитать. Выбор основания не добавляет новой грани: он только выделяет одну из уже имеющихся. При смене основания боковыми становятся другие три грани.

Разбор задач

Дан тетраэдр ABCD. Назовите его вершины, рёбра и грани.

1. Сначала выпишем вершины, поскольку именно ими обозначен тетраэдр: это A, B, C и D. Вершина — точка, поэтому в этот список не включают отрезки. Всего получаем четыре вершины.
2. Теперь перечислим пары вершин: AB, AC, AD, BC, BD и CD. Каждый такой отрезок является ребром, а порядок букв в названии одного ребра значения не меняет. Значит, например, AB и BA обозначают один и тот же отрезок.
3. Для граней выберем все возможные тройки вершин: ABC, ABD, ACD и BCD. Каждая тройка задаёт треугольник на поверхности тетраэдра. Проверка количества помогает убедиться, что ни одна грань не пропущена.

Ответ: вершины A, B, C, D; рёбра AB, AC, AD, BC, BD, CD; грани ABC, ABD, ACD, BCD.

Сколько рёбер и граней имеет тетраэдр, если известны четыре его вершины?

1. Для подсчёта рёбер рассматриваем пары вершин. От первой вершины можно провести рёбра к трём остальным, от второй — ещё к двум новым, а последняя пара даёт одно ребро. Итого 3 + 2 + 1 = 6, чтобы не пересчитать пары дважды.
2. Грани соответствуют тройкам вершин. Можно перечислить их, каждый раз исключая одну вершину: остаются четыре тройки. Каждая из них задаёт одну грань, так что всего граней четыре.
3. Проверим результат: у каждого треугольника три стороны, а четыре грани дают 12 подсчётов сторон. Каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому 12 делим на 2 и снова получаем 6 рёбер.

Ответ: 6 рёбер и 4 грани.

В тетраэдре ABCD точки M и N лежат соответственно на рёбрах AB и CD. Постройте сечение плоскостью, проходящей через M, N и вершину A.

1. Точки A и M лежат на одном ребре AB. Поэтому прямая AM совпадает с прямой AB, а плоскость сечения содержит всю прямую AB, в том числе вершину B. Это сразу задаёт часть сечения на гранях, содержащих ребро AB.
2. Точки B и N принадлежат грани BCD, поэтому в этой грани плоскость пересекается по прямой BN. Точки A и N принадлежат грани ACD, значит, там линия сечения проходит по AN. Отрезки AB, BN и NA образуют замкнутую фигуру.
3. На грани ABD сечение совпадает с ребром AB, а на грани ABC — также с ребром AB. На двух других гранях проходят отрезки BN и NA. Следовательно, нужно соединить A с N и B с N, а уже имеющееся ребро AB образует третью сторону.

Ответ: сечение — треугольник ABN. Точка M лежит на его стороне AB и не образует дополнительной вершины сечения.

Типичные ошибки

Можно ошибочно решить, что у тетраэдра четыре ребра, потому что у него четыре грани. Числа совпадают не для всех многогранников, а здесь рёбер шесть: по одному на каждую пару вершин. Для проверки перечислите рёбра по парам или убедитесь, что из каждой вершины выходят три ребра.

Иногда любой треугольник внутри тетраэдра называют его гранью. Но грань должна быть частью поверхности и ограничиваться рёбрами многогранника; внутренний треугольник может быть лишь сечением или вспомогательной фигурой. Проверьте, лежит ли рассматриваемый треугольник на поверхности и совпадают ли его стороны с рёбрами.

Вершину могут путать с ребром, потому что оба элемента обозначаются буквами. Однако A — точка, то есть вершина, а AB — отрезок, то есть ребро. Перед перечислением элементов посмотрите на запись: одна буква обозначает вершину, две — ребро.

При построении сечения иногда соединяют любые найденные точки, даже если отрезок между ними не лежит в одной грани. Из-за этого полученная линия может выйти за поверхность или нарушить форму пересечения. Проверяйте каждый отрезок отдельно: стороны сечения находятся в плоскостях граней, которые пересекает секущая плоскость.

Связь с другими темами

Для изучения тетраэдра нужны понятия многогранника, плоскости, отрезка и треугольника, а также умение обозначать точки и прямые. Эти знания позволяют понять, какие части фигуры являются её поверхностью и как задаются рёбра и грани. Позже представление о тетраэдре пригодится при изучении сечений многогранников и взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве. В частности, построение сечения опирается на пересечение плоскости с отдельными гранями.

Что запомнить

• Тетраэдр имеет четыре вершины.
• У тетраэдра шесть рёбер.
• Все четыре грани тетраэдра — треугольники.
• Каждое ребро соединяет две вершины.
• У каждой вершины тетраэдра сходятся три ребра.
• Выбранная грань может служить основанием, а противоположная вершина — вершиной пирамиды.