13. Параллелепипед

Определения и обозначения

Параллелепипед — призма, основанием которой служит параллелограмм. Его форму задают сам параллелограмм-основание и боковые рёбра: верхнее основание получается переносом нижнего вдоль боковых рёбер. Поэтому, меняя форму основания или направление рёбер, получают разные параллелепипеды.

Грани параллелепипеда — шесть параллелограммов, ограничивающих его поверхность. Два равных параллельных параллелограмма, выбранных в качестве оснований призмы, называют основаниями. Остальные четыре грани соединяют соответствующие стороны оснований и называются боковыми.

Диагональ параллелепипеда — отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Такой отрезок проходит внутри фигуры и называется пространственной диагональю; его не следует путать с диагональю грани, лежащей на поверхности.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. Его удобно описывать тремя измерениями — длиной, шириной и высотой: они соответствуют трём рёбрам, выходящим из одной вершины.

Как это устроено

Параллелепипед рассматривают как частный случай призмы, потому что его основания — параллелограммы. У призмы соответствующие стороны оснований параллельны и равны, а боковые рёбра параллельны друг другу. Боковая грань образована стороной основания и боковым ребром, поэтому её противоположные стороны параллельны. Значит, каждая боковая грань тоже является параллелограммом.

У параллелепипеда противоположные грани параллельны и равны. Основания обладают этими свойствами по определению призмы, а боковые грани — потому что в каждой из них противоположные стороны параллельны и равны; кроме того, боковые грани, расположенные напротив друг друга, образованы равными соответствующими сторонами оснований и параллельными боковыми рёбрами. Это свойство относится именно к парам противоположных граней, а не ко всем граням сразу.

Пространственные диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Чтобы увидеть причину, можно рассмотреть параллельные противоположные грани: перенос одной грани в другую совмещает соответствующие вершины и сохраняет середины отрезков. Диагонали параллелограмма каждой грани делятся пополам, поэтому середины диагоналей соответствующих граней совпадают. Полученная общая точка оказывается серединой пространственных диагоналей.

В прямоугольном параллелепипеде три ребра, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны: каждую пару образует сторона прямоугольной грани. Поэтому пространственную диагональ находят последовательным применением теоремы Пифагора. Сначала в прямоугольном основании находят его диагональ, а затем рассматривают прямоугольный треугольник, где катеты — диагональ основания и третье измерение.

Пусть измерения равны a, b и c, а диагональ основания — x. По теореме Пифагора x² = a² + b². Пространственная диагональ d является гипотенузой треугольника с катетами x и c, поэтому d² = x² + c². Подставляя выражение для x², получаем d² = a² + b² + c², а значит, d = √(a² + b² + c²). Формула применима именно к прямоугольному параллелепипеду.

Элементы и свойства параллелепипеда

Сначала определите, о каком типе параллелепипеда идёт речь: это влияет на форму граней и возможность использовать формулу диагонали. Затем найдите в таблице нужное свойство и проверьте, какие данные известны в задаче. Числа элементов одинаковы для обоих видов фигуры, а формула через три измерения указана только для прямоугольного параллелепипеда.

Разбор задач

Задача 1. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ укажите грань, параллельную ABCD, и назовите равные ей грани.

1. Четырёхугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ — противоположные основания призмы: вершины с одинаковыми буквами соединены боковыми рёбрами.
2. Основания любой призмы параллельны и равны. Поэтому искомая грань — A₁B₁C₁D₁, и она равна грани ABCD.

Ответ: грани ABCD параллельна и равна грань A₁B₁C₁D₁.

Задача 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в точке O. Если AO = 4 см, найдите длину диагонали AC₁.

1. Точка O — середина пространственной диагонали AC₁, потому что диагонали параллелепипеда делятся точкой пересечения пополам.
2. Значит, AO и OC₁ равны. Полная длина диагонали складывается из этих двух равных отрезков: AC₁ = AO + OC₁ = 4 + 4 = 8 см.

Ответ: 8 см.

Задача 3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 12 см. Найдите длину его пространственной диагонали.

1. Обозначим диагональ основания через x. По теореме Пифагора для сторон основания 3 см и 4 см: x² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, следовательно, x = 5 см.
2. Теперь диагональ основания и третье измерение 12 см — катеты прямоугольного треугольника, а пространственная диагональ d — гипотенуза. Тогда d² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, откуда d = 13 см.

Ответ: 13 см.

Типичные ошибки

Иногда диагональю параллелепипеда называют диагональ его грани. Их легко перепутать, потому что оба отрезка соединяют вершины фигуры. Проверьте, лежат ли концы отрезка на одной грани: если да, это диагональ грани, а пространственная диагональ соединяет вершины, не принадлежащие одной грани.

Неверно считать, что любые две грани параллелепипеда параллельны. Так думают, перенося название фигуры на каждую пару граней, хотя у соседних граней есть общее ребро. Для проверки мысленно отметьте грани, расположенные напротив друг друга: параллельны именно такие пары.

Равенство противоположных граней не означает, что все шесть граней равны между собой. Ошибка возникает, если свойство пары распространяют на остальные грани без основания. Сравните соответствующие стороны и углы: гарантированно равны только противоположные грани, а все грани равны лишь у некоторых видов параллелепипедов.

Формулу d² = a² + b² + c² нельзя применять к любому параллелепипеду. Она выводится из двух прямоугольных треугольников, поэтому требует прямых углов между тремя измерениями. Перед вычислением убедитесь, что параллелепипед прямоугольный; если этого условия нет, теорема Пифагора в таком виде неприменима.

Связь с другими темами

Для изучения параллелепипеда понадобятся определение призмы и свойства параллелограмма: они объясняют устройство его граней и отношения между ними. При вычислении пространственной диагонали прямоугольного параллелепипеда используется теорема Пифагора. Позже эти свойства помогут находить площади и объёмы многогранников, а также решать задачи на расстояния в пространстве. Поэтому полезно не только запомнить формулы, но и понимать, какие геометрические условия позволяют их применять.

Что запомнить

• Параллелепипед — призма с основанием-параллелограммом.
• У параллелепипеда шесть граней, восемь вершин и двенадцать рёбер.
• Противоположные грани параллельны и равны.
• Диагонали параллелепипеда пересекаются и делятся пополам.
• В прямоугольном параллелепипеде грани — прямоугольники.
• Квадрат пространственной диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: d² = a² + b² + c².