§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости

Определения и обозначения

Перпендикулярными называют прямые, угол между которыми равен 90°. В пространстве прямые могут быть скрещивающимися, то есть не пересекаться, поэтому для них рассматривают угол между параллельными им пересекающимися прямыми. Это определение позволяет точно говорить о прямом угле между направлениями. Оно понадобится, когда мы будем определять положение прямой относительно плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения. Значит, прямой угол должен получаться не с одной выбранной прямой, а со всеми прямыми плоскости, проходящими через место встречи с ней. Такое условие задаёт особое положение прямой в пространстве. Его удобно обозначать d ⟂ α, где d — прямая, а α — плоскость.

Основание перпендикуляра — точка пересечения прямой, перпендикулярной плоскости, с этой плоскостью. Например, если прямая SO перпендикулярна плоскости α и пересекает её в точке O, то O — основание перпендикуляра. Эта точка нужна, чтобы обозначать и измерять расстояние от точки до плоскости: длина перпендикуляра является таким расстоянием. Буквенное обозначение помогает не путать основание с исходной точкой вне плоскости.

Наклонная к плоскости — прямая, которая пересекает плоскость, но не перпендикулярна ей. Она входит в плоскость под углом, отличным от 90°, и потому отличается от перпендикуляра. Например, если из точки S провести к плоскости α отрезок SA, пересекающий её в A не под прямым углом, SA будет наклонной. Это различие важно при сравнении длин и построении проекции наклонной.

Как это устроено

Чтобы проверить перпендикулярность прямой плоскости, не требуется проверять её угол с бесконечным множеством прямых. Достаточно найти в плоскости две пересекающиеся прямые и убедиться, что данная прямая перпендикулярна каждой из них. Причина в том, что эти две прямые задают разные направления плоскости и встречаются в одной точке, где проходит проверяемая прямая. Признак перпендикулярности сводит проверку сложного пространственного условия к двум углам.

Теорема утверждает: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Пусть a и b лежат в α, пересекаются в O, а d перпендикулярна a и b; тогда d ⟂ α. Почему вывод относится ко всей плоскости? В плоскости можно провести через O любую прямую, и её направление выражается направлениями a и b; прямой угол с обоими направлениями обеспечивает прямой угол с такой прямой. В доказательстве обязательно указывают, что a и b пересекаются и лежат именно в α.

Через заданную точку можно провести ровно одну прямую, перпендикулярную данной плоскости. Существование означает, что такая прямая обязательно найдётся, а единственность — что второй отличающейся прямой с тем же свойством быть не может. Если бы через точку проходили две такие прямые, каждая была бы перпендикулярна направлениям плоскости; при этом обе должны совпасть с единственным направлением, перпендикулярным двум пересекающимся направлениям плоскости. Поэтому положение перпендикуляра определяется и точкой, и плоскостью.

Провести перпендикуляр через точку A плоскости α можно, выбрав в α две пересекающиеся прямые a и b, проходящие через A. Затем через A проводят прямую l, перпендикулярную обеим: их пересечение в A позволяет применить признак перпендикулярности. По теореме l перпендикулярна всей плоскости α, а точка A служит основанием перпендикуляра. Такой способ показывает, почему в построении нужно опираться сразу на два направления плоскости, а не на одну прямую.

Если из точки S вне плоскости опущен перпендикуляр SO, а SA — наклонная, её проекцией на плоскость называют отрезок OA. Точка O — основание перпендикуляра, а A — основание наклонной, поэтому проекция соединяет именно эти точки. Угол SOA прямой, так как SO перпендикулярен плоскости, а OA лежит в ней и проходит через O. Значит, треугольник SOA прямоугольный, и его стороны связаны теоремой Пифагора: SA² = SO² + OA².

Прямая и плоскость: определения и признаки перпендикулярности

Сначала найди, что именно дано: прямой угол или перпендикулярность двум прямым, лежащим в плоскости. Затем проверь, пересекаются ли эти прямые, и только после этого применяй признак. Для задач на длины отдельно отметь основание перпендикуляра, основание наклонной и отрезок-проекцию.

Разбор задач

Задача 1

Прямая d перпендикулярна прямым a и b, пересекающимся в точке O и лежащим в плоскости α. Докажем, что d перпендикулярна α. Здесь сразу заметно условие признака: обе прямые лежат в плоскости и пересекаются, а d перпендикулярна каждой из них. Значит, достаточно сослаться на теорему, не проверяя углы с остальными прямыми плоскости по отдельности.

1. По условию a и b — пересекающиеся прямые плоскости α.
2. Также по условию d ⟂ a и d ⟂ b.
3. Применяем признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Ответ: d ⟂ α. При записи доказательства важно не опускать сведения о пересечении a и b: без него признак нельзя было бы применить.

Задача 2

Через точку A плоскости α проведены прямые a и b, а прямая l перпендикулярна обеим. Требуется определить взаимное положение l и α и назвать основание перпендикуляра. Точка A здесь не просто обозначает место пересечения a и b: по условию через неё же проходит l. Поэтому можно проверить все части признака и сразу установить точку пересечения прямой с плоскостью.

1. Прямые a и b лежат в α и пересекаются в A, поскольку обе проходят через эту точку.
2. Прямая l перпендикулярна a и b.
3. По признаку l перпендикулярна α. Так как l проходит через A, принадлежащую α, она пересекает плоскость в точке A.
4. По определению точка пересечения перпендикуляра с плоскостью является его основанием.

Ответ: l ⟂ α, основание перпендикуляра — A. Если бы в условии не было сказано, что l проходит через A, пришлось бы отдельно установить её точку пересечения с α.

Задача 3

Из точки S вне плоскости α опущен перпендикуляр SO и проведена наклонная SA. Дано SO = 5 см, SA = 13 см; найдём OA. Удобно не искать особую формулу для наклонной, а увидеть прямоугольный треугольник SOA. Его прямой угол расположен в O, потому что OA лежит в α, а SO перпендикулярен плоскости.

1. Определяем стороны треугольника: SO — катет, SA — гипотенуза, OA — второй катет и проекция наклонной.
2. По теореме Пифагора SA² = SO² + OA², поэтому OA² = SA² − SO².
3. Подставляем данные: OA² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
4. Так как длина положительна, OA = √144 = 12 см.

Ответ: OA = 12 см. Проверка: 5² + 12² = 13², значит, найденные длины действительно образуют прямоугольный треугольник.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что для перпендикулярности прямой плоскости достаточно доказать прямой угол с одной прямой плоскости. Так рассуждают, потому что перпендикулярность двух прямых кажется похожей на перпендикулярность прямой и плоскости. Но один угол ничего не говорит о других направлениях в плоскости. Проверь себя: указаны ли две пересекающиеся прямые и перпендикулярна ли данная прямая каждой из них?

Иногда вместо пересекающихся прямых выбирают две параллельные. Они могут лежать в плоскости, но обе задают одно и то же направление, поэтому проверка с ними не охватывает все направления плоскости. Такая ошибка появляется, когда ученик замечает только, что прямых две, и забывает условие признака. Проверь, пересекаются ли выбранные прямые в одной точке; если нет, признак в этом виде неприменим.

Перпендикулярность прямой одной выбранной прямой в плоскости не равна перпендикулярности всей плоскости. Прямой угол может существовать лишь с одним направлением, а с другими прямыми плоскости угол будет отличаться от 90°. Чтобы избежать подмены понятий, проследи, что именно доказано: отношение двух прямых или отношение прямой ко всей плоскости. Для второго вывода нужно применить определение либо признак.

Наклонную иногда называют перпендикуляром или её проекцией. Это происходит, когда смешивают сам отрезок от внешней точки с отрезками, лежащими в плоскости. Перпендикуляр образует с плоскостью прямой угол, наклонная — нет, а проекция наклонной идёт по плоскости от основания перпендикуляра до основания наклонной. Проверь себя, назвав отдельно обе точки пересечения с плоскостью и отрезок между ними.

Связь с другими темами

Перед изучением темы полезно вспомнить определение угла между прямыми и признак перпендикулярности прямых. Они позволяют распознавать углы в пространстве и обосновывать применение признака для прямой и плоскости. Для задач с наклонной понадобятся свойства прямоугольного треугольника, прежде всего теорема Пифагора. Так можно перейти от пространственного рисунка к расчёту длины.

Перпендикулярность прямой плоскости станет основой для изучения перпендикулярных плоскостей и расстояний в пространстве. Понятия перпендикуляра, наклонной и её проекции используются также в теореме о трёх перпендикулярах. Поэтому навык выделять основание перпендикуляра и проекцию помогает не только доказывать, но и решать геометрические задачи на длины и углы.

Что запомнить

• Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым плоскости, проходящим через точку пересечения.
• Для доказательства достаточно проверить перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости.
• Основание перпендикуляра — точка его пересечения с плоскостью.
• Через заданную точку проходит единственная прямая, перпендикулярная данной плоскости.
• Перпендикуляр и наклонная из одной точки с плоскостью образуют прямоугольный треугольник вместе с проекцией наклонной.