1.4. Перпендикулярность прямой и плоскости

Определения и обозначения

Перпендикуляр к плоскости — прямая, которая пересекает плоскость и перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения. Иначе говоря, в точке пересечения она образует прямой угол с любым направлением, лежащим в плоскости. Это определение помогает отличить перпендикуляр к плоскости от прямой, которая образует прямой угол лишь с одной прямой в ней.

Основание перпендикуляра — точка, в которой перпендикулярная плоскости прямая пересекает эту плоскость. Если перпендикуляр проведён из точки A к плоскости α и пересекает её в точке H, то H — основание перпендикуляра. Эта точка нужна, чтобы точно указать место пересечения и рассматривать углы и расстояния в фигуре.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Поэтому в доказательстве выбирают две подходящие прямые внутри плоскости, которые имеют общую точку. Признак позволяет заменить проверку бесконечного множества прямых проверкой двух прямых.

Ортогональная проекция точки на плоскость — основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Например, если из A к плоскости α проведён перпендикуляр AH, то H — проекция A на α. Проекция показывает, где точка располагалась бы на плоскости при движении к ней строго по перпендикуляру.

Как это устроено

Почему достаточно проверить две прямые? Через точку пересечения перпендикуляра с плоскостью можно провести много прямых, и отдельно проверять угол с каждой из них неудобно. Две пересекающиеся прямые задают в плоскости два независимых направления. Если данная прямая образует прямой угол с обоими направлениями, то она перпендикулярна плоскости; это и выражает признак. Условие о пересечении важно: параллельные прямые не задают двух направлений плоскости в одной точке.

Из определения следует, что перпендикуляр образует прямой угол с любой прямой плоскости, проходящей через основание перпендикуляра. Это не означает, что он перпендикулярен любой прямой плоскости без дополнительных условий. Прямая плоскости, не проходящая через основание, обычно не пересекает перпендикуляр в точке, поэтому прямой угол с ней не образуется. Чтобы проверить угол, сначала убедитесь, что рассматриваемая прямая проходит через основание.

Через точку вне плоскости можно провести единственную прямую, перпендикулярную этой плоскости. Если бы через точку проходили два разных перпендикуляра, каждый из них был бы перпендикулярен двум направлениям плоскости, и пришлось бы получить несовместимые прямые углы в одной точке. Это связано со свойством планиметрии: из точки к данной прямой можно опустить единственный перпендикуляр. В пространстве условие относится уже не к одному направлению, а ко всей плоскости, но единственность сохраняется.

Чтобы найти проекцию точки, проводят из неё перпендикуляр к плоскости и берут точку пересечения. Проекция отрезка строится по его концам: сначала проецируют каждую конечную точку, затем соединяют полученные точки отрезком. Наклонный отрезок вместе с его проекцией и перпендикулярной составляющей образует прямоугольный треугольник. Поэтому длина проекции обычно меньше длины исходного отрезка; равенство возможно, когда отрезок уже лежит в плоскости.

В пространственных задачах перпендикулярность помогает заменить сложное рассуждение простыми углами и плоскими фигурами. Например, высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания, значит, она перпендикулярна любой прямой основания, проходящей через её основание. Тогда высота, отрезок в основании и наклонный отрезок могут образовать прямоугольный треугольник. В нём можно применять теорему Пифагора, а для доказательства перпендикулярности использовать две пересекающиеся прямые плоскости.

Перпендикулярность прямой и плоскости: определение и признак

Сначала определите, что именно требуется установить: перпендикулярность, основание или проекцию. Для применения признака проверьте оба условия: прямые лежат в плоскости и пересекаются, а рассматриваемая прямая перпендикулярна каждой из них. Если хотя бы одно условие не подтверждено, вывод делать нельзя.

Разбор задач

Задача 1

Из точки A к плоскости α проведена прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым плоскости α. Докажите, что эта прямая перпендикулярна α. В условии уже указано, что обе проверяемые прямые лежат в α и пересекаются. Значит, осталось применить подходящий признак.

1. Обозначим данную прямую через l, а две прямые плоскости — через b и c. По условию b и c лежат в α и пересекаются.
2. Также по условию l ⟂ b и l ⟂ c. Следовательно, выполнены оба условия признака: есть две пересекающиеся прямые плоскости, перпендикулярные l.
3. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем l ⟂ α. Отдельно проверять остальные прямые плоскости не требуется.

Ответ: данная прямая перпендикулярна плоскости α по признаку.

Задача 2

В прямоугольном параллелепипеде докажите, что ребро, выходящее из вершины перпендикулярно двум пересекающимся рёбрам основания, перпендикулярно плоскости основания. Нужно использовать именно два ребра основания, сходящиеся в одной вершине: они лежат в плоскости основания и пересекаются. Прямые углы между ними и выходящим ребром обеспечиваются свойствами прямоугольного параллелепипеда.

1. Пусть из вершины O основания выходят рёбра OA и OB, лежащие в плоскости основания, и ребро OC. Рёбра OA и OB пересекаются в точке O.
2. В прямоугольном параллелепипеде соседние рёбра, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны. Поэтому OC ⟂ OA и OC ⟂ OB.
3. Прямые OA и OB лежат в плоскости основания и пересекаются. Применяем признак: OC перпендикулярно плоскости основания.

Ответ: ребро, выходящее из вершины, перпендикулярно плоскости основания.

Задача 3

В пирамиде известны высота и расстояние от основания высоты до одной из вершин основания. Найдите расстояние от вершины пирамиды до этой вершины основания. Обозначим вершину пирамиды через S, основание высоты — H, а нужную вершину основания — A. Высота SH перпендикулярна плоскости основания, поэтому и прямой HA в этой плоскости.

1. Рассмотрим треугольник SHA. Его стороны SH и HA взаимно перпендикулярны, значит, угол SHA прямой.
2. Пусть SH = h, а HA = d. Искомое расстояние SA — гипотенуза прямоугольного треугольника.
3. По теореме Пифагора SA² = h² + d², поэтому SA = √(h² + d²). Подставьте в эту формулу известные числовые значения высоты и расстояния.

Ответ: расстояние равно √(h² + d²), где h — высота пирамиды, d — расстояние от основания высоты до выбранной вершины основания.

Типичные ошибки

Считать, что достаточно одной прямой плоскости. Прямой угол с одной прямой не показывает, как данная прямая расположена относительно других направлений плоскости. Ошибку допускают, потому что перпендикулярность часто сначала изучают для пары прямых. Проверьте себя: для признака должны быть указаны две пересекающиеся прямые плоскости.

Выбирать две параллельные или скрещивающиеся прямые. Такие прямые не пересекаются, поэтому признак перпендикулярности прямой и плоскости к ним неприменим. Это условие иногда упускают, проверяя только наличие прямых углов. Перед выводом убедитесь, что обе прямые принадлежат одной плоскости и имеют общую точку.

Забывать о пересечении прямой с плоскостью. По определению перпендикуляр пересекает плоскость, а значит, у него есть основание. Ошибка возникает, когда ориентируются только на угол с отдельной прямой. Проверьте, существует ли точка пересечения с плоскостью; если её нет, данная прямая не является перпендикуляром к ней.

Считать прямой угол с любой прямой плоскости. По определению прямой угол образуется с прямыми плоскости, проходящими через основание перпендикуляра. Наклонённую к плоскости прямую можно по ошибке принять за прямую, перпендикулярную ей, потому что она образует угол 90° с одной линией. Уточните, где находится основание и проходит ли через него выбранная прямая.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия прямого угла, перпендикулярных и пересекающихся прямых, а также плоскости. Перпендикулярность прямой и плоскости помогает находить расстояния в пространстве и изучать углы между прямыми и плоскостями. Признак часто используют в доказательствах о призмах и пирамидах: выбрав две пересекающиеся прямые основания, можно установить перпендикулярность целой плоскости и применить свойства прямоугольных треугольников.

Что запомнить

• Перпендикуляр к плоскости пересекает её под прямым углом.
• Основание перпендикуляра — точка его пересечения с плоскостью.
• Для доказательства перпендикулярности прямой плоскости достаточно проверить перпендикулярность двум пересекающимся прямым этой плоскости.
• Проверяемые прямые должны лежать в одной плоскости и пересекаться.
• Из точки вне плоскости к ней можно опустить единственный перпендикуляр.
• Ортогональная проекция точки на плоскость — основание перпендикуляра из этой точки.