1.3. Угол между скрещивающимися прямыми

Определения и обозначения

Скрещивающиеся прямые — прямые в пространстве, которые не пересекаются и не параллельны. Они не могут лежать в одной плоскости: если бы лежали, то либо пересекались, либо были параллельны. Это понятие помогает отличить пространственное расположение прямых от обычного расположения на плоскости.

Угол между скрещивающимися прямыми — меньший угол, образованный пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым. Так можно сравнить направления прямых, даже если у них нет общей точки. Выбирают меньший угол, поэтому его величина находится от 0° до 90°.

Параллельные прямые — прямые одной плоскости, не имеющие общих точек. При построении угла между скрещивающимися прямыми параллельность позволяет перенести направление одной прямой к другой. Тогда вместо непересекающейся пары получается пара пересекающихся прямых, и угол можно измерить.

Перпендикулярные скрещивающиеся прямые — скрещивающиеся прямые, угол между которыми равен 90°. Их перпендикулярность определяют не по непосредственному пересечению, а по построенной паре параллельных прямых. Это показывает, что прямой угол возможен и между прямыми без общей точки.

Как это устроено

У скрещивающихся прямых нет общей точки, а значит, на них нельзя выбрать два луча с общим началом. Именно такие лучи обычно образуют угол, поэтому измерить его непосредственно невозможно. Однако для сравнения направлений общая точка исходных прямых не обязательна. Достаточно перенести направление одной из них туда, где оно встретится с другой.

Чтобы построить угол, возьмите точку на одной из скрещивающихся прямых и проведите через неё прямую, параллельную второй. Полученная прямая пересечёт первую в выбранной точке, поэтому они образуют угол. Можно поступить и наоборот: провести параллельную первой прямой через точку второй. В обоих случаях одна сторона угла задаёт направление одной исходной прямой, а другая — направление второй.

Точку для проведения параллельной прямой можно выбирать по-разному, но величина угла от этого не меняется. Через разные точки проходят параллельные прямые, а у параллельных прямых одинаковое направление. Поэтому в каждом построении сравниваются те же два направления, даже если место пересечения оказалось другим. Это свойство даёт возможность выбирать удобную точку, например вершину многогранника.

Пересекающиеся прямые образуют четыре угла, но для угла между прямыми берут меньший. Соседние углы в сумме составляют 180°, поэтому один из них не превосходит 90°. Если в задаче получился тупой угол, нужно рассмотреть второй, смежный с ним: именно он будет углом между прямыми. В результате угол между прямыми всегда лежит в пределах от 0° до 90°.

Чтобы установить, что угол между скрещивающимися прямыми прямой, постройте две пересекающиеся прямые, параллельные исходным. Затем проверьте, что угол между ними равен 90°. Например, это можно обосновать перпендикулярностью сторон прямоугольной грани. Сам факт, что исходные прямые скрещиваются, такой проверке не мешает: сравниваются их направления, а не наличие общей точки.

Как определить угол между скрещивающимися прямыми

Таблица показывает, какие шаги связывают исходные прямые с искомым углом. Начните с проверки, что прямые действительно скрещиваются, затем перенесите направление одной из них параллельным построением. После этого найдите меньший угол у полученной пересекающейся пары.

Разбор задач

Задача 1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ укажите угол между прямыми AB и CC₁. Сначала нужно заменить одну прямую параллельной ей так, чтобы она пересекла другую. В основании куба ребро CD параллельно AB, а CD проходит через точку C. Поэтому искомый угол можно определить по пересекающимся прямым CD и CC₁.

1. Через C рассмотрим прямую CD. В кубе CD ∥ AB, поэтому она подходит для построения угла.
2. Прямые CD и CC₁ пересекаются в точке C и лежат в одной грани куба.
3. Эти рёбра соседние в квадратной грани DCC₁D₁, значит, они перпендикулярны.

Ответ: угол между AB и CC₁ равен 90°.

Задача 2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми AB и B₁C. Прямые скрещиваются, поэтому сначала перенесём направление B₁C к прямой AB. В грани BCC₁B₁ отрезок B₁C — диагональ, а через B удобно провести параллельную ей прямую. Полученный угол можно рассмотреть в этой же боковой грани.

1. Через B проведём прямую, параллельную B₁C.
2. Она пересекается с AB в точке B, а её направление лежит в плоскости грани BCC₁B₁.
3. Ребро AB перпендикулярно плоскости грани BCC₁B₁, поскольку перпендикулярно двум пересекающимся рёбрам BC и BB₁ этой грани.
4. Значит, AB перпендикулярно и проведённой через B прямой.

Ответ: угол между AB и B₁C равен 90°.

Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ требуется доказать, что AB и D₁C₁ перпендикулярны, хотя они скрещиваются. Проверим сначала условие по обозначениям. В стандартном параллелепипеде верхняя грань A₁B₁C₁D₁ параллельна нижней ABCD, а соответствующие рёбра параллельны.

1. В основании ABCD противоположные стороны параллельны: AB ∥ DC.
2. В боковой грани DCC₁D₁ противоположные стороны параллельны: DC ∥ D₁C₁.
3. Следовательно, AB ∥ D₁C₁. Эти прямые не скрещиваются и угол между ними равен 0°.
4. Значит, требуемое утверждение в стандартной разметке неверно; вероятно, в условии допущена опечатка. Например, AB и CC₁ действительно скрещиваются и перпендикулярны.

Ответ: доказать перпендикулярность AB и D₁C₁ нельзя: эти прямые параллельны.

Типичные ошибки

Искать общую точку скрещивающихся прямых и измерять угол непосредственно. Так поступают, потому что привычное определение угла связано с пересечением лучей. Но у скрещивающихся прямых общей точки нет, иначе они не были бы скрещивающимися. Проверьте построение: одна из прямых должна быть заменена параллельной ей, проходящей через точку другой.

Проводить прямую, не параллельную исходной. Такая прямая может пересечь первую, но угол между ними будет зависеть от произвольного направления и не описывать исходную пару. Ошибка возникает, если выбрать удобный отрезок в многограннике, не проверив параллельность. Перед вычислением убедитесь по свойствам граней или по условию, что нужные прямые действительно параллельны.

Выбирать больший угол при пересечении построенных прямых. При построении легко заметить тупой угол и принять его за искомый. Однако по определению угол между прямыми — меньший, то есть не больше 90°. Если выбранный угол тупой, найдите смежный с ним и используйте его.

Считать, что скрещивающиеся прямые не могут быть перпендикулярными. Такая ошибка появляется, если смешивать перпендикулярность с пересечением: перпендикулярные прямые в плоскости обычно изображают пересекающимися. Для скрещивающихся прямых проверяют угол между направлениями с помощью параллельного переноса. Если построенная пересекающаяся пара образует 90°, исходные прямые перпендикулярны.

Связь с другими темами

Для построения угла между скрещивающимися прямыми нужны определения параллельных и перпендикулярных прямых. Также пригодятся свойства параллельных прямых в плоскости: они позволяют переносить направление и обосновывать равенство углов. Эти знания помогают правильно выбрать построение и проверить, что полученный угол связан именно с исходными прямыми.

Понятие угла между скрещивающимися прямыми используют в задачах о многогранниках, где рёбра часто не пересекаются. Оно также готовит к изучению углов между прямыми и плоскостями. В обоих случаях важно уметь заменять пространственную ситуацию более удобной, сохраняя направления объектов.

Что запомнить

• Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны.
• Угол между скрещивающимися прямыми строят с помощью пересекающихся прямых, параллельных исходным.
• Величина угла не зависит от выбора точки для построения параллельной прямой.
• Угол между прямыми — меньший из образовавшихся углов.
• Угол между прямыми не превышает 90°.
• Скрещивающиеся прямые могут быть перпендикулярными.