31. Угол между скрещивающимися прямыми

Определения и обозначения

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. Они не пересекаются, но этим не становятся параллельными: параллельные прямые всегда можно расположить в одной плоскости. Пересекающиеся прямые имеют общую точку, а скрещивающиеся — нет. Это различие помогает сначала определить взаимное расположение прямых, а затем выбрать способ работы с ними.

Угол между скрещивающимися прямыми — угол между пересекающимися прямыми, проведёнными параллельно данным скрещивающимся прямым. Иными словами, мы заменяем каждую исходную прямую параллельной ей прямой так, чтобы новые прямые пересеклись. Угол между ними и принимают за угол между исходной парой. Такое определение позволяет сравнивать направления прямых, даже если сами они не имеют общей точки.

Угол между прямыми — меньший из двух углов, образованных при пересечении прямых. Поэтому его величина не больше 90°: он может быть острым или прямым. Это правило применяется и к углу, полученному для скрещивающихся прямых. Оно однозначно указывает, какой из двух углов следует называть искомым.

Как это устроено

Скрещивающиеся прямые нельзя измерить непосредственно, потому что у них нет общей точки, в которой можно было бы отметить угол. Кроме того, они не лежат в одной плоскости, а привычная картинка угла строится из двух лучей с общим началом в плоскости. Поэтому сначала нужно заменить исходные прямые другими, которые сохраняют их направления, но уже пересекаются. Именно такую замену задаёт параллельность.

Пусть даны скрещивающиеся прямые a и b. Выберем точку O на прямой a и проведём через O прямую b₁, параллельную b. Прямые a и b₁ пересекаются в O, поэтому угол между ними можно построить и измерить. При желании можно провести через O и прямую a₁, параллельную a; тогда угол между a₁ и b₁ задаёт тот же результат. Главное — сохранить оба исходных направления.

Точку построения разрешается выбирать не только на одной из данных прямых: через любую точку пространства можно провести по одной прямой, параллельной a и b. Получившиеся прямые пересекутся в этой точке. Если выбрать другое место, направления обеих построенных прямых не изменятся, поскольку каждая останется параллельной своей исходной. Значит, не изменится и угол между направлениями, а определение не зависит от того, где именно мы выполнили построение.

Для нахождения угла проведите через удобную точку прямые, параллельные данным, и найдите углы при их пересечении. Там будут два разных по величине угла, сумма которых равна 180°. По определению выбирают меньший, поэтому ответ не может превышать 90°. Если меньший угол равен 90°, прямые перпендикулярны по направлениям; если он меньше 90°, угол острый.

В вычислениях можно пользоваться свойствами параллельных прямых: например, соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. Это позволяет перенести известный угол из удобной плоскости к построенным прямым и получить искомую величину. Иногда проще рассмотреть сечение фигуры плоскостью, в которой видны нужные направления. Тогда пространственная задача сводится к вычислению угла в обычном плоском чертеже.

Как определяется угол между двумя прямыми

Сначала установите, как расположены прямые: от этого зависит, нужно ли строить заменяющую пару. Для скрещивающихся прямых не пытайтесь отмечать угол между самими линиями — используйте параллельные им пересекающиеся прямые. В таблице величины указаны для меньшего угла между направлениями.

Разбор задач

Задача 1. Скрещивающиеся рёбра куба

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ нужно назвать пару скрещивающихся рёбер и объяснить, как построить угол между ними. Возьмём AB и CC₁: они не имеют общей точки и не лежат в одной плоскости. Чтобы получить угол, удобно выбрать точку A на первом ребре и провести через неё прямую, параллельную CC₁. Направления сохраняются, а новая прямая пересечёт AB в точке A.

1. Рёбра AB и CC₁ не пересекаются, а их направления не параллельны; следовательно, они скрещиваются.
2. Через A проведём прямую a, параллельную CC₁. В кубе CC₁ перпендикулярно плоскости основания ABCD, поэтому a также перпендикулярна AB.
3. Угол между AB и a равен 90°. По определению это угол между рёбрами AB и CC₁.

Ответ: AB и CC₁ — скрещивающиеся рёбра; угол между ними равен 90°. В общем случае, когда направления рёбер не перпендикулярны, нужно тем же способом построить параллельную прямую и определить меньший угол в получившейся плоскости. Куб здесь позволяет сразу узнать угол по взаимной перпендикулярности его рёбер.

Задача 2. Рёбра прямоугольного параллелепипеда

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ требуется найти угол между скрещивающимися рёбрами AB и CC₁. Известно, что соседние направления рёбер параллелепипеда взаимно перпендикулярны, а противоположные рёбра параллельны. Сами AB и CC₁ не пересекаются, поэтому сначала заменим одно ребро параллельной прямой, проходящей через точку на другом. Такое построение переносит задачу в плоскость.

1. Выберем точку A на AB и проведём через неё прямую a, параллельную CC₁.
2. Ребро CC₁ перпендикулярно основанию ABCD, а AB лежит в этом основании. Следовательно, a перпендикулярна AB.
3. Меньший угол между AB и a равен 90°; по определению он равен углу между AB и CC₁.

Ответ: 90°. Если в условии заданы другие скрещивающиеся рёбра, сначала нужно выяснить, какие рёбра параллельны их направлениям, и перенести одно из них к точке на другом. Затем используйте известные углы между направлениями, например прямой угол между перпендикулярными рёбрами. Само расположение рёбер в пространстве не меняет результат параллельного переноса.

Задача 3. Угол по плоскому сечению

В пространственной фигуре прямые m и n скрещиваются. Известно, что через точку O на m проведена прямая n₁, параллельная n, а плоскость сечения содержит m и n₁; меньший угол между ними в сечении равен 60°. Требуется найти угол между m и n. Условие уже даёт подходящее построение: обе прямые, образующие угол в сечении, пересекаются и сохраняют нужные направления. Поэтому отдельный пространственный расчёт не требуется.

1. Проверим соответствие: m является одной из исходных прямых, а n₁ параллельна второй исходной прямой n.
2. Поскольку m и n₁ пересекаются в O, угол между ними можно измерить внутри указанной плоскости сечения.
3. По определению угол между m и n равен меньшему углу между m и n₁. В сечении он равен 60°.

Ответ: 60°. Если угол сечения был бы задан как тупой, нужно было бы взять дополнительный до 180° меньший угол. Например, при угле 120° искомый угол между прямыми равен 60°. Этот приём полезен, когда фигура сложная, но её сечение показывает две пересекающиеся прямые, параллельные исходным направлениям.

Типичные ошибки

Ошибка: пытаться измерить угол непосредственно между скрещивающимися прямыми. Так делают, потому что на плоском рисунке линии кажутся расположенными рядом и создают впечатление угла. Но у них нет общей точки, поэтому отметка угла между ними не имеет смысла. Проверьте построение: сначала найдите пересекающиеся прямые, параллельные каждой из данных.

Ошибка: провести через выбранную точку прямую, которая не параллельна исходной. Иногда выбирают направление, которое выглядит удобным на рисунке, но оно меняет одну из исходных прямых. Полученный угол тогда относится к другой паре направлений. Самопроверка проста: для каждой построенной прямой отдельно укажите, какой исходной она параллельна.

Ошибка: считать, что угол зависит от выбранной точки. Такое впечатление может возникнуть из-за перспективного изображения, где параллельные линии кажутся сходящимися. На самом деле точка влияет только на место пересечения построенных прямых, но не на их направления. Проверьте, что при переносе вы сохранили обе параллельности: тогда сохраняется и величина угла.

Ошибка: выбрать больший угол при пересечении построенных прямых. На чертеже тупой угол может быть заметнее или выглядеть удобнее для измерения. Однако угол между прямыми по определению — меньший из двух, поэтому его величина не превышает 90°. Если получено, например, 120°, замените его на дополнительный угол 180° − 120° = 60°.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны признаки параллельности прямых в пространстве, свойства параллельных прямых и понятие угла между пересекающимися прямыми. Они позволяют обосновать построение и перенести величину угла из одной плоскости в другую. Позже определение пригодится, когда нужно сравнить направления рёбер и диагоналей пространственных фигур или решать задачи о взаимном расположении прямых и плоскостей. Сечение помогает связать пространственное рассуждение с планиметрией.

Что запомнить

• Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.
• Угол между скрещивающимися прямыми определяют через параллельные им пересекающиеся прямые.
• Построить такие прямые можно через любую выбранную точку.
• Величина угла не зависит от выбора точки построения.
• Угол между прямыми выбирают не больше 90°.
• Для вычисления угла часто достаточно найти подходящее плоское сечение.