"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Подобие пространственных фигур помогает сравнивать тела, которые одинаковы по форме, но отличаются размерами или расположением. При преобразовании подобия все расстояния между точками изменяются в одном и том же отношении. Это отношение называют коэффициентом подобия. По нему можно найти не только соответствующие длины, но и отношения площадей поверхностей и объёмов: площади связаны с квадратом коэффициента, а объёмы — с его кубом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Подобные фигуры — фигуры, которые можно совместить преобразованием подобия. Их соответствующие точки сопоставляются так, что сохраняются форма и пропорции частей, хотя размеры могут различаться. Это понятие позволяет сравнивать фигуры независимо от их положения и величины.
Преобразование подобия — преобразование пространства, при котором расстояние между любой парой точек умножается на одно и то же положительное число. Значит, ни один отрезок не меняется отдельно от остальных: все линейные размеры масштабируются одинаково. Это условие помогает отличить подобие от случайного сходства.
Коэффициент подобия — положительное число, во сколько раз преобразование изменяет расстояния. При сравнении двух фигур его находят как отношение длин соответствующих отрезков, например соответствующих рёбер. Сначала нужно определить, какая фигура считается исходной: при переходе в обратном направлении коэффициент становится обратным.
Соответствующие элементы — элементы, сопоставленные друг другу преобразованием подобия. Например, соответствующие вершины задают соответствующие рёбра, а соответствующие рёбра принадлежат сопоставленным граням. Такое соответствие нужно установить до вычислений, иначе можно сравнить стороны, которые не связаны друг с другом.
Подобие сохраняет форму фигуры, потому что все расстояния изменяются с одним коэффициентом. Если один отрезок увеличить в k раз, то тем же множителем изменятся и остальные отрезки, поэтому отношения между ними останутся прежними. В результате форма и пропорции соответствующих частей не нарушаются, хотя сама фигура может стать больше или меньше.
Представить преобразование подобия удобно как изменение масштаба, после которого фигуру можно переместить или повернуть. Масштабирование меняет размеры, а перемещение и поворот меняют только положение в пространстве. Поэтому расположение фигур рядом, направление их рёбер и ориентация не определяют, подобны они или нет.
У каждой пары соответствующих отрезков отношение длин одинаково и равно коэффициенту подобия. Например, если соответствующее ребро стало в три раза длиннее, то каждое другое соответствующее ребро также должно стать втрое длиннее. Именно постоянство отношений позволяет проверить, согласуются ли размеры двух фигур с единым масштабом.
Площадь поверхности состоит из площадей частей, которые лежат в двух измерениях. При увеличении линейного размера в k раз каждая пара измерений грани увеличивается в k раз, поэтому её площадь становится в k² раз больше. Это рассуждение относится и к целой поверхности, если сопоставлены все соответствующие грани.
Объём зависит от трёх измерений: длины, ширины и высоты. При увеличении каждого из них в k раз объём изменяется в k · k · k = k³ раз. Поэтому даже небольшое изменение коэффициента заметнее отражается на объёме, чем на длине или площади.
| Что сравнивается | Соотношение при коэффициенте подобия k |
|---|---|
| Соответствующие длины | Отношение длин равно k |
| Площади соответствующих граней и поверхностей | Отношение площадей равно k² |
| Объёмы | Отношение объёмов равно k³ |
| Форма и углы соответствующих элементов | Форма и углы сохраняются |
Сначала выясни, какие именно элементы соответствуют друг другу и в каком направлении рассматривается подобие. Затем используй нужную строку: для длин — k, для площадей — k², для объёмов — k³. Если известен не коэффициент, а отношение объёмов или площадей, извлеки кубический или квадратный корень соответственно.
Нужно установить, подобны ли кубы, и найти коэффициент от меньшего к большему. У кубов одинаковая форма: каждое ребро одного куба соответствует ребру другого. Поэтому достаточно сравнить соответствующие линейные размеры.
Ответ: кубы подобны, коэффициент от меньшего к большему равен 3.
У параллелепипедов нужно сопоставить длину с длиной, ширину с шириной, высоту с высотой. Если все три отношения равны, размеры согласуются с одним масштабом и форма сохраняется. Проверим это для каждой пары измерений.
Ответ: параллелепипеды подобны, коэффициент от первого ко второму равен 2.
Пусть первая фигура соответствует числу 8, а вторая — числу 125 в отношении объёмов. Объёмы подобных фигур относятся как кубы соответствующих линейных размеров, поэтому сначала найдём отношение длин, а затем по нему — отношение площадей.
Ответ: соответствующие длины относятся как 2:5, площади — как 4:25.
Считать фигуры подобными только из-за одинакового названия или общего сходства — ошибка: два параллелепипеда могут иметь разные пропорции. Её допускают, когда обращают внимание на внешний вид, а не на измерения. Проверь отношения соответствующих линейных размеров: они должны быть согласованы с одним коэффициентом.
Сравнивать любые выбранные рёбра нельзя, потому что они могут занимать разное место в фигуре. Ошибка возникает, если забыть сначала установить соответствие вершин и граней. Проверь, что сопоставляемые отрезки выполняют одинаковую роль в строении фигур, и только потом дели их длины.
Отношение площадей нельзя приравнивать к коэффициенту подобия: это смешение линейной и двумерной величин. Так ошибаются, перенося правило для длин на поверхности. Самопроверка проста: у площади два измерения, поэтому отношение площадей должно быть k².
Объёмы не относятся как квадрат коэффициента: объём зависит от трёх измерений. Квадрат появляется при расчёте площадей, и это правило иногда ошибочно применяют ко всем величинам. Проверь степень по числу измерений: для объёма используй k³, а по известному отношению объёмов извлекай кубический корень.
Для изучения подобия нужны знания о преобразованиях пространства, движении и гомотетии — изменении масштаба относительно центра. Также пригодится умение находить пропорции соответствующих отрезков. Подобие пространственных фигур продолжает знакомую идею подобия плоских фигур: линейные размеры масштабируются одинаково. Оно применяется при сравнении тел, работе с масштабом и вычислении площадей поверхностей и объёмов.
Чем подобие пространственных фигур отличается от их равенства?
Равные фигуры совпадают при движении: их соответствующие размеры одинаковы. Подобные фигуры могут различаться размером, но сохраняют форму и пропорции; равные фигуры можно считать подобными с коэффициентом 1.
Как понять, какие элементы фигур являются соответствующими?
Соответствующие элементы сопоставляются преобразованием подобия: точке одной фигуры отвечает точка другой, а отрезку — образ его концов. Поэтому соответствующие рёбра и грани занимают одинаковое место в строении фигур, даже если сами фигуры по-разному расположены в пространстве.
Достаточно ли проверить отношение только одного ребра, чтобы установить подобие?
Обычно нет: одно совпавшее отношение ещё не показывает, что остальные размеры изменились в том же масштабе. Нужно проверить соответствие формы и постоянство отношений всех соответствующих длин; для прямоугольных параллелепипедов, например, сравнивают все три пары измерений.
Почему площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия?
Площадь зависит от двух линейных измерений. Если каждое из них умножается на k, то площадь умножается на k · k = k², поэтому отношение соответствующих площадей равно квадрату коэффициента.
Как найти коэффициент подобия по отношению объёмов?
Отношение объёмов равно кубу отношения соответствующих длин. Поэтому из отношения объёмов нужно извлечь кубический корень: если V₁:V₂ = 8:125, то коэффициент от первой фигуры ко второй равен 2:5.
30. Подобие пространственных фигур
