29. Параллельный перенос в пространстве

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование пространства, при котором каждой точке A соответствует точка A′ так, что вектор AA′ один и тот же для всех точек. Иными словами, всё пространство смещается одинаково, без поворота и изменения формы. Это определение помогает отличить перенос от других движений, например поворота.

Вектор переноса — фиксированный вектор, задающий перемещение каждой точки; его обычно обозначают a. У него есть длина, направление и ориентация, и все три характеристики должны быть одинаковыми при перемещении разных точек. По вектору переноса можно построить образ любой точки.

Образ точки — точка A′, в которую переходит A при переносе; запись: A′ = T(A), где T обозначает перенос. Вектор AA′ равен вектору переноса. Такая запись позволяет точно указать, куда переходит точка, и связывает её положение до и после преобразования.

Образ фигуры — множество образов всех точек исходной фигуры. Чтобы его получить, нужно перенести каждую точку фигуры на один и тот же вектор. Это определение позволяет рассуждать не только об отдельных точках, но и о целых отрезках, прямых, плоскостях и других фигурах.

Как это устроено

Чтобы выполнить перенос, из каждой точки фигуры откладывают один и тот же вектор. Его начало ставят в исходную точку, а конец указывает соответствующий образ. Например, если из A и B отложить равные векторы AA′ и BB′, положения A′ и B′ определятся однозначно. Именно общность вектора гарантирует, что все точки перемещаются согласованно, а не каждая по своему правилу.

Если вектор переноса нулевой, его начало и конец совпадают, поэтому каждая точка остаётся на месте. Для любого вектора a обратным будет перенос на противоположный вектор −a: сначала точка смещается на a, затем на −a, а суммарное смещение равно нулю. Значит, после этих двух действий каждая точка возвращается в исходное положение, и фигура восстанавливается полностью.

Рассмотрим два переноса подряд: сначала на вектор a, затем на вектор b. Для точки A сначала строится A′ так, что AA′ = a, а потом B′ так, что A′B′ = b. По правилу сложения векторов результирующее перемещение AB′ равно a + b. Поэтому вместо двух действий можно сразу выполнить один перенос на сумму векторов.

Перенос сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Если A и B смещаются на равные векторы, то векторы между исходными точками и между их образами равны: A′B′ = AB. Следовательно, длины соответствующих отрезков одинаковы. Так как сохраняются все расстояния, фигура и её образ равны: меняется положение, но не размеры и форма.

Прямая при переносе переходит в параллельную ей прямую либо совпадает с собой. Действительно, все её точки смещаются одинаково, поэтому направление прямой сохраняется; если смещение идёт вдоль самой прямой, её точки лишь переходят в другие точки этой же прямой. По той же причине плоскость переходит в параллельную плоскость или в себя: её направление не меняется, а перенос вдоль плоскости оставляет её на месте.

Основные свойства параллельного переноса

В таблице сначала найдите рассматриваемый объект, а затем прочитайте соответствующее ему свойство. При решении задачи это помогает выбрать, что именно можно использовать: сохранение длины, параллельность или равенство фигур. Проверяйте также особые случаи, когда прямая или плоскость переходит в себя.

Разбор задач

Задача 1. Точка A переходит в A′ при переносе на вектор a. Постройте образ точки B. Из условия известно, что вектор AA′ равен a, поэтому он задаёт правило для любой точки. Нужно применить то же правило к B, не меняя ни длину, ни направление вектора.

1. Поставьте начало вектора в точку B.
2. Отложите от B вектор, равный a; для построения можно использовать направление и длину вектора AA′.
3. Обозначьте конец полученного вектора буквой B′.

Ответ: B′ — образ точки B, причём BB′ = a = AA′. Если отложить вектор другой длины или направления, получится не образ при данном переносе. Поэтому после построения сравните оба вектора целиком, а не только их длины.

Задача 2. При переносе точка A переходит в A′, а точка B — в B′. Докажите, что AB = A′B′. По определению переноса AA′ = BB′, то есть точки переместились на один вектор. Требуется показать, что расстояние между ними при этом не меняется.

1. Обозначьте общий вектор переноса через a: AA′ = BB′ = a.
2. Запишите вектор между образами: A′B′ = A′A + AB + BB′.
3. Так как A′A = −a, а BB′ = a, получаем A′B′ = −a + AB + a = AB.

Ответ: A′B′ = AB, следовательно, длины отрезков равны. В доказательстве сократились противоположные векторы смещения. Это показывает, почему равенство перемещений для двух точек сохраняет расстояние между ними.

Задача 3. Фигура сначала переносится на вектор a, затем на вектор b. Определите результирующее преобразование и найдите образ точки M. При первом переносе точка смещается на a, при втором — на b уже из нового положения. Поэтому для результата нужно учитывать оба перемещения в их порядке как векторную сумму.

1. Обозначьте образ M после первого переноса через M₁: MM₁ = a.
2. Постройте образ M₁ после второго переноса, обозначив его M₂: M₁M₂ = b.
3. Сложите перемещения: MM₂ = a + b. Значит, достаточно перенести M сразу на вектор a + b.

Ответ: результирующее преобразование — параллельный перенос на вектор a + b, а образ точки M строится откладыванием этого вектора от M. Если сумма векторов нулевая, два переноса в совокупности оставляют каждую точку на месте. Длины векторов отдельно складывать нельзя, если они не сонаправлены.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что точки фигуры перемещаются в разные стороны. Так бывает, если воспринимать перенос как произвольное движение, но его правило требует одного общего вектора для всех точек. Проверьте себя: векторы от каждой точки к её образу должны совпадать по длине, направлению и ориентации.

Ошибка: считать достаточным равенство длин AA′ и BB′. Равные длины ещё не означают равенства векторов: точки могут переместиться в разные стороны или по-разному ориентированными отрезками. Проверьте стрелки на векторах: у них должны совпадать и длина, и направление, и ориентация.

Ошибка: утверждать, что прямая всегда переходит в другую, отличную от неё прямую. Если вектор переноса параллелен прямой, каждая её точка переходит в другую точку той же прямой, поэтому образ совпадает с исходной. Проверьте, не лежит ли вектор переноса вдоль рассматриваемой прямой.

Ошибка: при последовательных переносах складывать длины векторов. Длины не учитывают, направлены ли перемещения навстречу друг другу или в одну сторону, поэтому такой расчёт может дать неверный результат. Сложите сами векторы по правилу сложения и только потом определяйте длину суммы, если она нужна.

Связь с другими темами

Для изучения переноса нужно уметь задавать и складывать векторы, строить векторы, равные данному, и понимать, что означают параллельные прямые и плоскости. Эти знания помогают правильно построить образ и описать, куда переместилась фигура. В частности, при последовательных переносах результат определяют именно сложением векторов.

Параллельный перенос относится к движениям пространства — преобразованиям, сохраняющим расстояния. Он пригодится при изучении других движений и симметрий, а также в задачах на равенство фигур. Если удаётся сопоставить фигуру с её образом переносом, можно использовать сохранение расстояний и формы.

Что запомнить

• Вектор перемещения одинаков для всех точек.
• Перенос с нулевым вектором оставляет фигуру на месте.
• Обратный перенос задаётся противоположным вектором.
• Последовательные переносы складываются по правилу сложения векторов.
• Параллельный перенос сохраняет расстояния и форму фигуры.
• Образы прямой и плоскости параллельны исходным или совпадают с ними.