28. Движение в пространстве

Определения и обозначения

Движение пространства — преобразование, сохраняющее расстояния между любыми точками: если A и B переходят в A′ и B′, то AB = A′B′. Поэтому длины отрезков не меняются, а величины углов сохраняются. Это определение позволяет проверять, является ли преобразование движением.

Симметрия относительно плоскости — преобразование, при котором плоскость служит серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему точку с её образом. Для точки, лежащей в плоскости, образом будет она сама, а остальные точки переходят на другую сторону. Такое описание помогает точно построить образ точки.

Центральная симметрия — преобразование относительно точки, которая является серединой отрезка между любой точкой и её образом. Сам центр остаётся неподвижным, а точка и её образ располагаются по разные стороны от него на одинаковом расстоянии. Определение используют, чтобы находить образ точки по заданному центру.

Параллельный перенос смещает каждую точку на один и тот же вектор, то есть в одном направлении и на одинаковую величину. При повороте вокруг оси точки вращаются вокруг заданной прямой на один и тот же угол, а точки самой оси не перемещаются. Эти способы задания движений помогают определить образ любой точки пространства.

Как это устроено

Представим фигуру как набор точек, среди которых выделены вершины, а стороны и углы задаются отношениями между ними. При движении каждое расстояние между парой точек сохраняется, поэтому сохраняются длины сторон и диагоналей. Угол определяется взаимным направлением двух отрезков, а сохранение расстояний не позволяет изменить форму образованного ими треугольника. Значит, образы вершин образуют фигуру, равную исходной.

Чтобы найти отражение точки A относительно плоскости α, сначала опускают из A перпендикуляр на α. Пусть он пересекает плоскость в точке H: именно H должна быть серединой отрезка AA′. Поэтому от H на продолжении перпендикуляра за плоскость откладывают отрезок длины HA. Полученная точка A′ находится на том же расстоянии от плоскости, что и A, но по другую сторону.

При центральной симметрии любая точка перемещается через один и тот же центр на противоположную сторону. Для любых двух точек A и B их образы лежат по ту же схему относительно центра, поэтому соответствующие отрезки имеют одинаковую длину и направление, возможно, противоположное исходному. При параллельном переносе обе точки сдвигаются одним вектором, так что разность их положений не меняется. Поэтому оба преобразования сохраняют расстояния.

Поворот вокруг оси можно представить как вращение плоскости, перпендикулярной этой оси. Точка на оси не меняет положения, потому что расстояние от неё до оси равно нулю. Любая другая точка остаётся на прежнем расстоянии от оси и описывает окружность с центром на ней. Общий угол поворота задаёт, куда переместится точка, а длина её пути зависит от радиуса этой окружности.

Все четыре преобразования относятся к движениям, поскольку сохраняют расстояния между точками. Значит, при каждом из них фигура не растягивается и не сжимается, а меняет только положение или ориентацию. Если сопоставить вершины исходной фигуры и её образа, соответствующие стороны и углы окажутся равны. Это позволяет применять движения для обоснования равенства пространственных фигур.

Основные движения пространства

Сначала по столбцу «Как задаётся» определите, какие данные нужны для построения образа. Столбец о неподвижных точках помогает проверить, правильно ли вы поняли преобразование. Последний столбец подсказывает, какие длины и углы можно использовать в решении задач.

Разбор задач

Задача 1. Построить образ точки A при симметрии относительно плоскости α, если расстояние от A до α равно 3 см. Нужно определить не только удаление образа от плоскости, но и его направление. По определению плоскость симметрии должна делить отрезок между точкой и образом пополам под прямым углом.

1. Из A проведём перпендикуляр к α и обозначим основание перпендикуляра H.
2. Расстояние AH равно 3 см. На продолжении AH за плоскость отложим от H отрезок длины 3 см.
3. Конец отрезка обозначим A′. Проверим построение: H лежит в α, AH = HA′, а AA′ перпендикулярен α.

Ответ: точка A′ находится за плоскостью α на расстоянии 3 см от неё, на том же перпендикуляре, что и A.

Задача 2. При параллельном переносе точка A переходит в A′. Построить образы вершин треугольника ABC и объяснить, почему полученный треугольник равен ABC. Перенос задаёт вектор AA′, и этот же вектор должен применяться к каждой вершине. Поэтому нельзя откладывать для B и C произвольные отрезки той же длины, но в иных направлениях.

1. Для вершины B построим B′ так, чтобы BB′ был равен и сонаправлен AA′.
2. Для вершины C построим C′ по тому же правилу: CC′ = AA′ как векторы.
3. Треугольник A′B′C′ является образом ABC. Перенос сохраняет расстояния, поэтому A′B′ = AB, B′C′ = BC и C′A′ = CA.

Ответ: нужно перенести B и C на вектор AA′; треугольники ABC и A′B′C′ равны, так как соответствующие стороны равны.

Задача 3. Точка P находится на расстоянии 5 см от оси l. Найти, где может находиться её образ при повороте вокруг l, и определить расстояние между P и образом после поворота на 180°. При повороте расстояние до оси не меняется, поэтому образ остаётся на окружности радиуса 5 см. Угол поворота показывает, где именно на этой окружности он окажется.

1. Опустим из P перпендикуляр к l. Его длина равна 5 см, поэтому окружность возможных положений образа имеет радиус 5 см.
2. Поворот на 180° переводит P в точку P′ на противоположной стороне этой окружности, диаметрально противоположную P.
3. Отрезок PP′ является диаметром окружности. Его длина равна удвоенному радиусу: 2 · 5 = 10 см.

Ответ: при повороте образ лежит на окружности радиуса 5 см с центром на оси; после поворота на 180° расстояние PP′ равно 10 см.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при симметрии относительно плоскости образ точки лежит в самой плоскости. Так путают плоскость симметрии с местом, куда обязательно должна попасть точка. Проверьте себя: плоскость должна быть серединным перпендикуляром к отрезку между точкой и образом, а не содержать этот отрезок целиком.

Ошибка: смешивать центральную симметрию с симметрией относительно плоскости. В обоих случаях есть равные расстояния, но в одном задана точка, а в другом — плоскость. Для проверки спросите себя, что должно делить пополам отрезок между точкой и её образом: центр-точка или плоскость, перпендикулярная этому отрезку.

Ошибка: при параллельном переносе перемещать разные точки по разным векторам. Иногда переносят только длину, забывая, что направление тоже должно совпадать. Проверьте, что все отрезки от исходных точек к образам равны и сонаправлены; тогда один и тот же вектор применён ко всем точкам.

Ошибка: считать, что при повороте вокруг оси все точки проходят одинаковое расстояние. Это неверно: точки на разном удалении от оси описывают окружности разных радиусов. Для проверки найдите расстояние каждой точки до оси: одинаковую длину перемещения можно ожидать только у точек с одинаковым радиусом и при одном угле поворота.

Связь с другими темами

Для работы с движениями понадобятся расстояние между точками, перпендикулярность прямой и плоскости и умение находить середину отрезка. Также нужно помнить свойства равных фигур: соответствующие стороны и углы у них равны. Эти знания помогают проверять построение образов и обосновывать, что преобразование сохраняет форму.

Движения пригодятся при изучении симметрии и равенства пространственных фигур. Они помогают увидеть, как одна фигура совмещается с другой, не изменяя размеров. Это полезно при построении сечений и решении стереометрических задач, где важно сопоставить элементы разных частей фигуры.

Что запомнить

• Движение пространства сохраняет расстояния между точками.
• При движении фигура переходит в равную ей фигуру.
• При симметрии относительно плоскости эта плоскость делит пополам отрезок между точкой и её образом и перпендикулярна ему.
• При центральной симметрии центр является серединой отрезка между точкой и её образом.
• При параллельном переносе все точки смещаются на один и тот же вектор.
• При повороте вокруг оси точки оси остаются неподвижными.