"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Угол между прямой и плоскостью показывает, насколько прямое направление наклонено к плоскости. Его определяют не по произвольной линии на чертеже, а по ортогональной проекции прямой на плоскость. Поэтому в задачах сначала находят проекцию, а затем рассматривают прямоугольный треугольник из наклонной, её проекции и перпендикуляра. Угол всегда лежит от 0° до 90°: крайние значения соответствуют параллельности и перпендикулярности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Ортогональная проекция прямой на плоскость — прямая, полученная проецированием точек исходной прямой на плоскость по перпендикулярам. Если исходная прямая перпендикулярна плоскости, все её точки проектируются в одну точку, и проекция вырождается. Это понятие позволяет определить направление прямой относительно плоскости.
Наклонная к плоскости — прямая, которая пересекает плоскость, но не перпендикулярна ей. Из точки наклонной вне плоскости можно опустить перпендикуляр, а проекция наклонной соединит основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Такое построение помогает получить прямоугольный треугольник для решения задач.
Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Его величина находится от 0° до 90° включительно. По этому углу можно описать, насколько сильно прямая отклоняется от направления, параллельного плоскости.
Перпендикулярность прямой и плоскости означает, что прямая образует с плоскостью угол 90°. В этом случае её ортогональная проекция — одна точка. Это крайний случай наклона, а не обычная наклонная.
Чтобы построить проекцию прямой, возьмите на ней две точки и из каждой проведите перпендикуляр к плоскости. Основания этих перпендикуляров будут проекциями выбранных точек; соедините их. Почему получившаяся линия содержит проекции остальных точек? Ортогональное проектирование сохраняет прямолинейность: основания перпендикуляров для точек одной прямой оказываются на одной прямой плоскости. Если же исходная прямая перпендикулярна плоскости, основания совпадают.
Наклонную сравнивают с её проекцией, потому что проекция показывает направление, которое наклонная задаёт внутри плоскости. С произвольной линией плоскости угол мог бы быть любым и не описывал бы наклон прямой к самой плоскости. Проекция даёт ближайшее к наклонной направление, лежащее в плоскости. Поэтому угол между ней и наклонной служит естественной мерой наклона.
На пространственном чертеже обозначьте точку пересечения прямой с плоскостью буквой O. Выберите другую точку A на прямой и опустите из A перпендикуляр AH к плоскости; H — основание перпендикуляра. Отрезок HO лежит в плоскости и является проекцией наклонной AO. Значит, искомый угол — ∠AOH; при этом AH перпендикулярен HO, и треугольник AHO прямоугольный.
В предельных случаях проясняется смысл определения. Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, её направление уже параллельно плоскости и угол равен 0°. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол равен 90°, а точки проекции сливаются в одну. Между этими случаями прямая пересекает плоскость под острым углом.
В прямоугольном треугольнике AHO гипотенуза AO — наклонная, AH — перпендикуляр, HO — проекция. Для угла α при O выполняются отношения sin α = AH/AO, cos α = HO/AO и tg α = AH/HO. Синус связывает угол с перпендикуляром и наклонной, косинус — с проекцией и наклонной, тангенс — с двумя катетами. Выбирайте отношение по тем длинам, которые известны или требуются.
| Положение прямой | Её проекция на плоскость | Угол между прямой и плоскостью |
|---|---|---|
| Прямая параллельна плоскости | Прямая, параллельная исходной | 0° |
| Прямая лежит в плоскости | Та же прямая | 0° |
| Прямая пересекает плоскость под острым углом | Прямая в плоскости | От 0° до 90° |
| Прямая перпендикулярна плоскости | Точка | 90° |
Сначала определите положение прямой, а затем посмотрите, как устроена её проекция: в частном случае она может быть точкой. Таблица помогает быстро проверить крайние случаи и выбрать угол. Для наклонной величину угла находят по треугольнику, образованному прямой, её проекцией и перпендикуляром.
Задача 1. Прямая образует с плоскостью угол 30°. Найдите угол между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Нужно различать угол к плоскости и угол к её проекции, хотя именно определение связывает их. Используем это определение напрямую.
Ответ: 30°.
Задача 2. Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр длиной 5 см и наклонная длиной 13 см. Найдите угол между наклонной и плоскостью. Обозначим угол через α. Перпендикуляр и наклонная принадлежат прямоугольному треугольнику, в котором наклонная — гипотенуза.
Ответ: примерно 22,6°.
Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде диагональ боковой грани образует угол с плоскостью основания. Высота равна 6 см, а проекция диагонали на основание — 8 см. Найдите угол между диагональю и основанием. Обозначим угол через α. Высота и проекция — катеты прямоугольного треугольника, а диагональ грани — его гипотенуза.
Ответ: примерно 36,9°.
Первая ошибка — принимать за угол между прямой и плоскостью угол с любой прямой, проведённой в плоскости. Так делают, потому что на рисунке видны разные направления внутри плоскости. Но нужное направление задаёт именно ортогональная проекция. Проверьте себя: выбранная линия должна соединять проекции точек исходной прямой.
Вторая ошибка — называть перпендикуляр проекцией наклонной. Перпендикуляр соединяет точку вне плоскости с её основанием и не лежит в плоскости, поэтому он задаёт высоту. Проекция наклонной, напротив, лежит в плоскости и соединяет основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной с плоскостью. На схеме отметьте, какой отрезок лежит в плоскости.
Третья ошибка — считать, что угол может быть больше 90°. Это происходит, если измеряют угол с направленной в обратную сторону линией. Угол между прямой и плоскостью по определению берут от 0° до 90°. Сверьте результат с этими границами: ответ за их пределами неверен.
Четвёртая ошибка — перепутать наклонную и её проекцию в прямоугольном треугольнике. Наклонная всегда гипотенуза, а перпендикуляр и проекция — катеты; от этого зависит выбор синуса, косинуса или тангенса. Перед вычислением подпишите на чертеже стороны относительно искомого угла. Затем проверьте, что гипотенуза длиннее каждого катета.
Для изучения темы нужны ортогональное проектирование, перпендикулярность прямой и плоскости и свойства прямоугольного треугольника. Они дают способ построить проекцию и вычислить угол по известным длинам. Понятие применяется при нахождении углов и расстояний в пространственных задачах. Оно также помогает перейти к изучению угла между плоскостями.
Как найти угол между прямой и плоскостью на чертеже?
Найдите точку пересечения прямой с плоскостью и опустите из другой точки прямой перпендикуляр к плоскости. Соедините основание перпендикуляра с точкой пересечения: полученный отрезок — проекция наклонной. Искомый угол образован наклонной и этой проекцией.
Почему угол между прямой и плоскостью не может быть больше 90°?
По определению берут меньший угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Поэтому его величина неотрицательна и не превосходит 90°. Если прямая направлена в противоположную сторону, угол всё равно измеряют по меньшей величине.
Чем проекция наклонной отличается от перпендикуляра к плоскости?
Перпендикуляр соединяет внешнюю точку с плоскостью под углом 90° и задаёт высоту. Проекция наклонной лежит в плоскости и соединяет основание этого перпендикуляра с точкой, где наклонная пересекает плоскость.
Как найти угол, если известны длины наклонной и перпендикуляра?
В прямоугольном треугольнике наклонная — гипотенуза, а перпендикуляр — катет, противолежащий искомому углу. Поэтому sin α = h / l, где h — длина перпендикуляра, l — длина наклонной. Затем найдите угол α по значению синуса.
Какой угол образует с плоскостью прямая, параллельная ей?
Угол равен 0°. Ортогональная проекция такой прямой параллельна ей и имеет то же направление.
32. Угол между прямой и плоскостью
