"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Угол между прямой и плоскостью показывает, насколько наклонена прямая к плоскости, и помогает сравнивать пространственные направления. Его определяют как угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Величина угла — от 0° до 90°: при параллельности она равна 0°, при перпендикулярности — 90°. Для вычислений часто используют прямоугольный треугольник, образованный наклонной, её проекцией и перпендикуляром к плоскости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Ортогональное проектирование означает, что точки прямой переносят на плоскость по перпендикулярам к ней. Величина угла лежит от 0° до 90°, поэтому она показывает наклон прямой к плоскости без выбора тупого угла.
Ортогональная проекция прямой на плоскость — прямая, проходящая через проекции точек исходной прямой, если исходная прямая не перпендикулярна плоскости. Проекции отдельных точек соединяются в линию, потому что все построенные перпендикуляры задают соответствующее положение прямой на плоскости. Именно проекция позволяет перейти от пространственного угла к обычному углу между двумя прямыми.
Наклонной к плоскости называют прямую, которая пересекает плоскость, но не перпендикулярна ей. Её отрезок от точки вне плоскости до точки пересечения можно рассматривать вместе с проекцией на плоскость. Такое название помогает отличать эту прямую от перпендикуляра и применять свойства прямоугольного треугольника.
Угол наклона прямой к плоскости — угол между прямой и её проекцией. Если прямая параллельна плоскости или лежит в ней, угол равен 0°; если она перпендикулярна плоскости, угол равен 90°. Во всех остальных случаях угол острый, и его можно обозначать, например, α.
Чтобы построить угол между прямой и плоскостью, сначала находят ортогональную проекцию прямой. Через точку пересечения прямой с плоскостью и проекцию другой её точки проводят линию проекции. Эти две линии имеют общую точку, поэтому между ними можно измерить угол; именно он и принимается за искомый. Если прямая перпендикулярна плоскости, её проекция вырождается в точку, а угол сразу равен 90°.
При параллельности прямой плоскости угол равен 0°, потому что направление прямой совпадает с направлением некоторой линии плоскости. Если прямая лежит в плоскости, её проекция совпадает с самой прямой, что также даёт нулевой угол. Перпендикулярная прямая, напротив, образует с плоскостью максимальный угол — 90°. Так определение охватывает все основные положения прямой.
Когда прямая пересекает плоскость, но не перпендикулярна ей, она является наклонной. Опустим из точки на этой прямой перпендикуляр к плоскости; его основание и точка пересечения наклонной с плоскостью задают проекцию наклонной. Наклонная, проекция и перпендикуляр образуют прямоугольный треугольник, поскольку перпендикуляр образует прямой угол с любой лежащей в плоскости прямой, проходящей через его основание. Поэтому пространственную задачу можно решать средствами планиметрии.
Угол между прямой и плоскостью дополняет до 90° угол между этой прямой и перпендикуляром к плоскости, проведённым через точку пересечения. Это следует из того, что перпендикуляр к плоскости перпендикулярен её проекции наклонной, а значит, в треугольнике двух углов сумма равна 90°. Такая связь помогает не перепутать нужный угол с углом между наклонной и перпендикуляром. Если один из этих углов известен, второй можно найти вычитанием из 90°.
В прямоугольном треугольнике гипотенуза — наклонная, а катет, лежащий в плоскости, — её проекция. Поэтому косинус угла наклона α равен отношению длины проекции к длине наклонной: cos α = проекция / наклонная. Это отношение удобно, когда известны обе длины и требуется угол. Если известны наклонная и перпендикуляр, сначала находят проекцию по теореме Пифагора.
| Положение прямой | Проекция на плоскость | Угол между прямой и плоскостью |
|---|---|---|
| Прямая параллельна плоскости | Прямая, параллельная исходной | 0° |
| Прямая лежит в плоскости | Сама прямая | 0° |
| Прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна ей | Прямая в плоскости | От 0° до 90° |
| Прямая перпендикулярна плоскости | Точка | 90° |
Сначала определите, как расположена прямая: параллельна ли она плоскости, лежит в ней, пересекает её наклонно или перпендикулярна ей. Затем выберите соответствующую проекцию и значение угла. В третьем случае используйте прямоугольный треугольник, если в задаче даны длины.
Решение. По условию прямая параллельна плоскости и не лежит в ней. Её ортогональная проекция на плоскость параллельна самой прямой, поэтому направление прямой совпадает с направлением её проекции. По определению искомый угол — угол между этими направлениями.
Решение. Наклонная и её проекция образуют прямоугольный треугольник вместе с перпендикуляром к плоскости. Угол между наклонной и проекцией как раз является искомым углом α. В этом треугольнике наклонная длиной 10 см — гипотенуза, а проекция длиной 6 см — прилежащий к α катет.
Решение. Перпендикуляр, проекция наклонной и сама наклонная образуют прямоугольный треугольник. Наклонная длиной 13 см — гипотенуза, а перпендикуляр длиной 5 см — один катет. Сначала найдём второй катет, то есть проекцию, а затем по её отношению к гипотенузе определим угол.
Ошибка: принять за угол между прямой и плоскостью угол между прямой и перпендикуляром к плоскости. Это происходит потому, что в построении присутствуют оба угла, но они относятся к разным парам линий. Проверьте: угол наклона измеряется к проекции, а угол к перпендикуляру дополняет его до 90°.
Ошибка: считать, что любая пересекающая плоскость прямая перпендикулярна ей. Сам факт пересечения не задаёт угол, поэтому такое предположение неверно. Убедитесь, что в условии есть признак перпендикулярности; если его нет, прямая может быть наклонной.
Ошибка: путать наклонную с её проекцией при подстановке длин в формулу косинуса. Так бывает, когда не отмечают гипотенузу и катеты на схеме. Проверьте стороны треугольника: наклонная — гипотенуза, а проекция — прилежащий катет, поэтому cos α = проекция / наклонная.
Ошибка: выбирать угол больше 90° между прямой и её проекцией. Причина обычно в том, что рассматривают неподходящий угол при пересечении линий. По определению угол между прямой и плоскостью не превышает 90°; если получен тупой угол, выберите смежный острый или прямой угол.
Для построения угла нужны понятия перпендикуляра к плоскости и ортогональной проекции точки. Прямоугольный треугольник связывает проекцию, наклонную и перпендикуляр, поэтому пригодятся теорема Пифагора, синус и косинус острого угла. Эти инструменты уже знакомы по планиметрии, но здесь они применяются к пространственным фигурам. Тема помогает решать стереометрические задачи на расстояния, площади и углы между прямыми и плоскостями.
Как построить угол между прямой и плоскостью?
Спроецируйте прямую на плоскость перпендикулярно ей: найдите проекции её точек и проведите через них проекцию прямой. Угол между исходной прямой и её проекцией и будет углом между прямой и плоскостью.
Может ли угол между прямой и плоскостью быть больше 90°?
Нет, по определению его величина лежит от 0° до 90°. Если при построении получился тупой угол, нужно взять дополнительный до 180° острый угол между прямой и её проекцией.
Чем угол между прямой и плоскостью отличается от угла между прямой и перпендикуляром к плоскости?
Угол между прямой и плоскостью измеряют между прямой и её проекцией на плоскость. Угол с перпендикуляром к плоскости дополняет его до 90°.
Чему равен угол между прямой, параллельной плоскости, и этой плоскостью?
Он равен 0°. Проекция такой прямой параллельна ей, поэтому направление прямой не образует с плоскостью наклона.
Как найти угол между наклонной и плоскостью по длинам наклонной и её проекции?
Косинус угла равен отношению длины проекции к длине наклонной: cos α = проекция / наклонная. Затем по этому значению определяют угол α.
2.3. Угол между прямой и плоскостью
