§ 3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Эта прямая называется ребром, а полуплоскости — гранями угла. Ребро показывает, где грани соединяются, и помогает задать положение угла в пространстве.

Линейный угол двугранного угла — угол между лучами, которые лежат в его гранях, выходят из одной точки ребра и перпендикулярны ребру. Его величина не зависит от того, какую точку ребра выбрали. Линейный угол нужен, чтобы измерять пространственный угол привычным плоским углом.

Угол между плоскостями — меньший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Его величина находится от 0° до 90°. Такое определение устраняет неоднозначность: пересекающиеся плоскости образуют углы двух видов — меньшие и большие.

Перпендикулярные плоскости — плоскости, угол между которыми равен 90°. Обозначение α ⟂ β означает, что плоскости α и β перпендикулярны. Это понятие позволяет установить взаимное положение плоскостей через прямую, перпендикулярную одной из них.

Как это устроено

Общая граничная прямая двух полуплоскостей играет роль оси, вокруг которой располагаются грани: именно она отделяет одну сторону каждой полуплоскости от другой. Поэтому без этой прямой нельзя однозначно указать, какие грани образуют двугранный угол. Выбрав на ребре точку, можно провести через неё плоскость, перпендикулярную ребру. В каждой грани эта плоскость пересечёт её по лучу, и эти два луча зададут линейный угол.

Сечение перпендикулярной ребру плоскостью сводит пространственную фигуру к плоской: линия пересечения с каждой гранью становится стороной угла. Полученный угол и есть линейный угол двугранного угла, поэтому его градусная мера служит мерой пространственного угла. Если взять другую точку на ребре, стороны нового линейного угла будут параллельны соответствующим сторонам первого. Они направлены одинаково, значит, углы между ними равны; отсюда следует, что выбор точки не меняет величину.

Две пересекающиеся плоскости дают четыре двугранных угла вокруг общей прямой. В сечении, перпендикулярном этой прямой, они переходят в четыре плоских угла с общей вершиной. Противоположные углы на сечении равны как вертикальные, поэтому равны и соответствующие двугранные углы. Соседние углы составляют развёрнутый угол, значит, их сумма равна 180°.

Угол между плоскостями определяют как меньший из четырёх двугранных углов: так для одной пары плоскостей получается единственная величина не больше 90°. Если она равна 90°, плоскости перпендикулярны. В сечении, перпендикулярном линии пересечения плоскостей, это означает прямой линейный угол.

Признак перпендикулярности плоскостей связывает пространственное условие с этим линейным углом. Пусть одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости; точка пересечения прямой со второй плоскостью лежит на линии пересечения плоскостей. В перпендикулярном сечении сторона линейного угла, лежащая в первой плоскости, оказывается перпендикулярна стороне, лежащей во второй. Значит, линейный угол равен 90°, и плоскости перпендикулярны.

Двугранные углы и угол между плоскостями

Таблица помогает выбрать нужное определение или свойство по условию задачи. Сначала определи, что дано: грани с ребром, пересекающиеся плоскости или прямая, перпендикулярная плоскости. Затем используй соответствующий способ определения угла и проверь, какое следствие из него получается.

Разбор задач

Задача 1. В точке ребра двугранного угла провести в каждой грани луч, перпендикулярный ребру, и определить, какой плоский угол задаёт величину двугранного угла. Нужно получить угол, стороны которого принадлежат разным граням, а не выбрать любые направления на них.

1. Обозначим ребро l, а выбранную на нём точку — O.
2. В первой грани проведём из O луч a, перпендикулярный l, и во второй грани — луч b, также перпендикулярный l.
3. Угол aOb будет линейным углом данного двугранного угла; его величина и есть искомая.

Ответ: величину двугранного угла задаёт угол между построенными лучами, перпендикулярными ребру.

Задача 2. Две плоскости пересекаются; один из образовавшихся двугранных углов равен 58°. Найти остальные три. Сначала используем равенство противоположных углов, а затем свойство смежных; углы рассматриваем вокруг общей линии пересечения.

1. Противоположный двугранный угол равен данному, поэтому он составляет 58°.
2. Каждый из двух смежных с ним углов дополняет его до 180°: 180° − 58° = 122°.
3. Проверка: углы по соседству с 58° равны между собой, а их сумма с ним составляет 180°.

Ответ: 58°, 122° и 122°.

Задача 3. Плоскости α и β пересекаются по прямой l. Прямая a лежит в α и перпендикулярна β. Доказать, что α и β перпендикулярны. Условие уже совпадает с признаком: одна из плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой.

1. Так как a ⊂ α и a ⟂ β, применяем признак перпендикулярности плоскостей.
2. Можно увидеть причину через сечение: возьмём точку на l и проведём плоскость, перпендикулярную l.
3. Линейный угол в этом сечении прямой, поскольку соответствующая сторона в α перпендикулярна β; значит, угол между плоскостями равен 90°.

Ответ: α ⟂ β.

Типичные ошибки

Не считай линейным углом угол между произвольно выбранными отрезками на гранях. Они могут не быть перпендикулярными ребру, поэтому их угол не измеряет двугранный. Ошибка возникает, когда внимание обращают только на то, что стороны лежат в гранях. Проверь построение: обе стороны должны выходить из одной точки ребра и быть перпендикулярны ему.

Нельзя измерить двугранный угол любым углом между прямыми в его гранях: эти прямые могут иметь неподходящие направления. Даже если они пересекаются, это ещё не делает угол линейным. Чтобы проверить себя, найди общее основание — точку на ребре — и убедись, что обе стороны перпендикулярны ребру. Без этого условия вывод о величине двугранного угла не обоснован.

Угол между плоскостями не следует путать с любым из четырёх двугранных углов. Например, если меньший угол равен 58°, смежный с ним равен 122°, но угол между плоскостями по определению равен 58°. Путаница появляется из-за того, что обе величины относятся к одним плоскостям. Проверь, что выбран именно меньший угол и он не превышает 90°.

Из наличия произвольной прямой в плоскости нельзя заключать, что плоскости перпендикулярны. Для признака эта прямая должна быть перпендикулярна другой плоскости целиком, а не только отдельной прямой в ней. Не подменяй условие прямой плоскости одним частным измерением. Перед применением признака запиши, в какой плоскости лежит прямая и к какой плоскости она перпендикулярна.

Связь с другими темами

Для построения линейного угла понадобятся знания о перпендикулярности прямой и плоскости и о перпендикулярных прямых. Равенство углов, стороны которых параллельны и сонаправлены, опирается на свойства плоских углов. Свойства смежных и вертикальных углов помогают находить все четыре угла при пересечении плоскостей.

Эти понятия пригодятся при изучении угла между прямой и плоскостью, а также при дальнейшем рассмотрении углов между плоскостями. Они помогают решать стереометрические задачи на расстояния и сечения: сечение позволяет заменить пространственный вопрос плоской фигурой. Умение находить перпендикулярные направления становится основой для таких доказательств.

Что запомнить

• Линейный угол двугранного угла образован лучами, перпендикулярными его ребру.
• Величина двугранного угла равна величине его линейного угла.
• Все линейные углы одного двугранного угла равны.
• При пересечении двух плоскостей противоположные двугранные углы равны.
• Смежные двугранные углы в сумме дают 180°.
• Угол между плоскостями — меньший из образованных ими двугранных углов.
• Если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.