§ 46. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей границей. Эти полуплоскости называются гранями, а общая граница — ребром. Такое определение помогает отличить двугранный угол от пары плоскостей: угол задаётся именно выбранными гранями.

Линейный угол двугранного угла — угол между двумя лучами, лежащими в его гранях и перпендикулярными ребру. Начала лучей должны совпадать и находиться на ребре. Линейный угол позволяет измерить, насколько расходятся грани.

Величина двугранного угла — градусная мера его линейного угла. При выборе другой точки на ребре получаются лучи, параллельные соответствующим лучам первого построения, поэтому образованный ими угол имеет ту же величину. Это позволяет измерять угол в удобном месте.

Перпендикулярные плоскости — плоскости, образующие двугранный угол величиной 90°. Иначе говоря, их линейный угол прямой. Такое определение даёт геометрический способ распознать перпендикулярность плоскостей.

Как это устроено

Две пересекающиеся плоскости имеют общую прямую, которая делит каждую из них на две полуплоскости. Если взять по одной полуплоскости из каждой плоскости, получится пара граней с общей границей. Именно поэтому две пересекающиеся плоскости могут задавать несколько двугранных углов: выбор граней имеет значение.

Чтобы построить линейный угол, сначала выбирают точку на ребре. Затем в каждой грани проводят из этой точки луч, перпендикулярный ребру. Перпендикуляры важны потому, что они показывают направление, в котором грани расходятся поперёк ребра; произвольные направления в гранях могли бы дать другой угол.

Измерять двугранный угол удобно по линейному, поскольку градусную меру обычного плоского угла можно определить транспортиром или известными геометрическими свойствами. Если выбрать другую точку на ребре, соответствующие лучи останутся перпендикулярны одной и той же прямой и будут параллельны прежним. Угол между двумя лучами не изменится при их параллельном переносе, поэтому измерение не зависит от места построения.

Величина линейного угла показывает взаимное расположение граней. Если она меньше 90°, двугранный угол острый; если равна 90° — прямой; если больше 90° — тупой. Такое сравнение работает потому, что линейный угол отражает раскрытие граней в сечении, перпендикулярном ребру.

Для доказательства перпендикулярности плоскостей используют признак: если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны. Перпендикулярная другой плоскости прямая задаёт направление, которое пересекает её под прямым углом. Поэтому содержащая такую прямую плоскость образует с другой плоскостью прямой двугранный угол.

Двугранный угол и перпендикулярность плоскостей

Пользуйтесь таблицей, чтобы различать сам двугранный угол, его ребро и способ измерения. В задачах сначала определите, какие грани и ребро рассматриваются, а затем выберите способ: построить линейный угол или применить признак перпендикулярности плоскостей.

Разбор задач

Найти величину двугранного угла

В двугранном угле из точки на ребре проведены лучи в обеих гранях, перпендикулярные ребру. Угол между лучами равен 42°. Найдите величину двугранного угла.

1. Проверяем, что лучи лежат в гранях и перпендикулярны ребру. Значит, они образуют линейный угол данного двугранного угла.
2. По определению величина двугранного угла равна градусной мере его линейного угла.
3. Подставляем данное значение: линейный угол равен 42°, следовательно, такую же величину имеет двугранный угол.

Ответ: 42°.

Определить взаимное расположение плоскостей

Даны две пересекающиеся плоскости. В одной из них через точку пересечения проведена прямая, перпендикулярная другой плоскости. Определите взаимное расположение плоскостей и обоснуйте ответ.

1. Обозначим плоскость, содержащую проведённую прямую, через α, а вторую — через β.
2. По условию в α есть прямая, перпендикулярная плоскости β. Это ровно условие признака перпендикулярности плоскостей.
3. Применяем признак: плоскости α и β перпендикулярны. То, что они пересекаются, согласуется с таким выводом: перпендикулярные плоскости имеют общую прямую.

Ответ: плоскости перпендикулярны.

Доказать перпендикулярность плоскостей

Плоскости α и β пересекаются по прямой l. В α через точку A на l проведена прямая a, перпендикулярная l. В β через A проведена прямая b, перпендикулярная l; угол между a и b равен 90°. Докажите, что α и β перпендикулярны.

1. Прямые a и b лежат соответственно в плоскостях α и β и пересекаются в точке A.
2. Обе прямые перпендикулярны l, то есть ребру двугранного угла, а их начала лежат на этом ребре. Поэтому угол между a и b — линейный угол двугранного угла, образованного α и β.
3. По условию линейный угол равен 90°. Следовательно, двугранный угол прямой, а по определению плоскости α и β перпендикулярны.

Ответ: α ⟂ β.

Типичные ошибки

• Называть двугранным углом только две плоскости — значит не учитывать выбор граней. Ошибку допускают, потому что плоскости задают общую картину, но пары полуплоскостей могут быть разными. Проверьте себя: можете ли вы указать обе грани и их общую прямую?

• Измерять двугранный угол по произвольным прямым в гранях нельзя: они могут не задавать его линейный угол. Так делают, забывая условие о перпендикулярности ребру. Перед измерением проверьте, что обе стороны угла перпендикулярны ребру и начинаются на нём в одной точке.

• Считать, что величина зависит от точки на ребре, — ошибка: построенные в разных точках линейные углы равны. Обычно сомнение возникает из-за разного положения чертежей. Убедитесь, что лучи в каждой грани перпендикулярны одному и тому же ребру: тогда соответствующие лучи параллельны.

• Наличие перпендикулярных прямых в двух плоскостях ещё не доказывает перпендикулярность плоскостей. Путают условие признака, где нужна перпендикулярность прямой и плоскости, с обычной перпендикулярностью двух прямых. Для проверки уточните: перпендикулярна ли выбранная прямая всей другой плоскости?

Связь с другими темами

Для работы с двугранными углами нужны знания о перпендикулярности прямых и плоскостей, признаке перпендикулярности прямой и плоскости и свойствах углов. В частности, важно уметь отличать условие «прямая перпендикулярна плоскости» от условия «две прямые перпендикулярны». Новая тема пригодится при исследовании граней многогранников и поиске углов между плоскостями: ребро пересечения помогает построить линейный угол.

Что запомнить

• Общая граница граней двугранного угла называется его ребром.
• Линейный угол строят из лучей граней, перпендикулярных ребру.
• Величина двугранного угла равна величине его линейного угла.
• Для измерения двугранного угла можно выбрать любую точку на ребре.
• Перпендикулярные плоскости образуют прямой двугранный угол.
• Если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.