§ 3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Эта прямая служит местом соединения полуплоскостей, а сама фигура помогает описывать взаимное расположение частей пространства. Например, так можно задать угол между соседними гранями многогранника. Для измерения такого угла нужно отдельно договориться, какой плоский угол его характеризует.

Общая граничная прямая двух полуплоскостей называется ребром двугранного угла, а сами полуплоскости — его гранями. Ребро задаёт направление, вдоль которого грани соприкасаются, но оно не показывает величину их наклона. Грани, напротив, задают стороны двугранного угла. Это различие важно, чтобы не принять прямую ребра за угол, которым измеряют двугранный угол.

Линейный угол двугранного угла — это угол между двумя лучами, проведёнными из одной точки ребра перпендикулярно ему и лежащими в разных гранях. Чтобы построить его, выбирают точку на ребре, а затем проводят в каждой грани луч под прямым углом к ребру. Такой плоский угол показывает, как грани расходятся друг от друга. Поэтому с его помощью удобно измерять пространственный угол.

Величиной двугранного угла называют величину его линейного угла. Выбрать для построения линейного угла можно любую точку на ребре: результат не изменится. Значит, одна пара граней имеет одну и ту же величину двугранного угла, даже если линейные углы построены в разных местах ребра. Это позволяет измерять угол там, где удобнее выполнять построение.

Перпендикулярными называют плоскости, образующие прямой двугранный угол. Иначе говоря, их грани расположены так, что линейный угол между ними равен 90°. Это определение переводит вопрос о положении двух плоскостей к знакомому вопросу о прямом угле. Далее такое свойство можно проверять и с помощью прямых, лежащих в плоскостях.

Как это устроено

Само ребро не позволяет измерить наклон граней: при взгляде вдоль него обе грани могут казаться одной прямой. Поэтому в каждой грани выбирают направление, перпендикулярное ребру. Такие направления показывают, как грани расходятся в стороне от общей прямой, и между ними возникает обычный плоский угол. Он и даёт наглядную меру взаимного наклона.

Для построения линейного угла сначала отмечают точку на ребре. Через неё в каждой грани проводят луч, перпендикулярный ребру; оба луча начинаются в одной точке, поэтому образуют обычный угол. Выбор перпендикулярных направлений нужен потому, что тогда угол измеряет наклон граней поперёк ребра, а не вдоль него. Если точку перенести по ребру, направления лучей относительно граней сохранятся, и соответствующие линейные углы будут равны.

Перпендикулярность плоскостей связана с прямым углом так: плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их двугранный угол прямой. По определению величина двугранного угла равна величине линейного, поэтому достаточно получить линейный угол в 90°. В такой проверке пространственная задача сводится к построению двух перпендикуляров в гранях. Обратное рассуждение тоже работает: перпендикулярные плоскости образуют именно прямой двугранный угол.

Признак перпендикулярности плоскостей упрощает доказательство: если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Причина в том, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует прямой угол с направлениями этой плоскости. Когда такая прямая лежит в первой плоскости, она служит способом подтвердить перпендикулярное положение двух плоскостей. Важно проверить именно перпендикулярность прямой плоскости, а не отдельной прямой в ней.

Из признака следует полезное свойство: если две плоскости перпендикулярны, то прямая одной из них, перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости. Линия пересечения играет здесь роль ребра двугранного угла, а выбранная прямая задаёт направление внутри первой плоскости поперёк этого ребра. При прямом двугранном угле такое направление оказывается перпендикулярным второй плоскости. Следствие удобно применять, когда перпендикулярность плоскостей уже известна, а нужно доказать свойство конкретной прямой.

Двугранный угол и перпендикулярность плоскостей

Пользуйся таблицей как планом решения: сначала уточни, какие плоскости или грани рассматриваются, затем найди их общее ребро. Для измерения двугранного угла строй линейный угол, а для доказательства перпендикулярности выбирай признак или следствие по известным условиям. Особенно внимательно различай, перпендикулярна ли прямая плоскости или только линии пересечения плоскостей.

Разбор задач

Задача 1. В кубе назовите ребро двугранного угла, образованного плоскостями двух соседних граней, и укажите его величину. Решение. Сначала определим, что плоскости соседних граней куба имеют общее ребро. Именно это общее ребро будет ребром двугранного угла, а не одна из граней целиком. По свойству куба соседние грани перпендикулярны, поэтому их двугранный угол прямой.

1. Назовите две соседние грани куба, указанные в условии.
2. Найдите ребро, принадлежащее обеим граням: оно и есть ребро двугранного угла.
3. Используйте перпендикулярность соседних граней куба: величина двугранного угла равна 90°.

Ответ: ребро двугранного угла — общее ребро выбранных граней; величина угла — 90°.

Задача 2. В двугранном угле величина линейного угла равна 65°. Найдите величину двугранного угла. Решение. Здесь уже дан угол, специально построенный для измерения двугранного. Не нужно искать другое сечение или делать дополнительные построения: по определению величина двугранного угла равна величине линейного. Поэтому искомая величина совпадает с данным значением.

1. Обозначьте величину линейного угла: 65°.
2. Примените определение: величины линейного и двугранного углов равны.
3. Перенесите значение без изменений: величина двугранного угла равна 65°.

Ответ: 65°.

Задача 3. Плоскости α и β пересекаются по прямой l. Прямая m лежит в α и перпендикулярна l. Докажите, что при условии m ⟂ β плоскости α и β перпендикулярны, а также сформулируйте обратное следствие для прямой m. Решение. Здесь заданы условия для двух разных утверждений. Для доказательства перпендикулярности плоскостей используем признак, а для обратного вывода о прямой — следствие. Условие m ⟂ l указывает, что прямая направлена поперёк линии пересечения, но само по себе не заменяет условие m ⟂ β в признаке.

1. По условию m лежит в плоскости α и перпендикулярна плоскости β.
2. Примените признак: если плоскость α содержит прямую, перпендикулярную β, то α ⟂ β.
3. Обратное следствие формулируется при условии α ⟂ β: если прямая m лежит в α и m ⟂ l, где l — линия пересечения плоскостей, то m ⟂ β.

Ответ: α ⟂ β по признаку перпендикулярности плоскостей; в обратном следствии из α ⟂ β и m ⟂ l следует m ⟂ β.

Типичные ошибки

Путают ребро с линейным углом. Ребро — общая прямая граней, а линейный угол образуют два луча, перпендикулярных ребру. Ошибка возникает потому, что оба объекта относятся к одному двугранному углу. Проверь себя: ребро — прямая, а линейный угол имеет две стороны и вершину.

Измеряют двугранный угол произвольным сечением. Такое сечение может дать угол, который не показывает наклон граней в нужном направлении. Обычно это происходит, когда любое пересечение с плоскостью принимают за линейный угол. Проверь, что секущая плоскость перпендикулярна ребру, а стороны полученного угла лежат в гранях.

Считают достаточной перпендикулярность прямой и отдельной прямой в плоскости. Для признака нужна прямая, перпендикулярная именно другой плоскости, а не только одному её направлению. Ошибку допускают, подменяя условие о прямой и плоскости условием о двух прямых. Проверь, записано ли в задаче, что прямая перпендикулярна плоскости целиком.

Путают признак со следствием. В признаке прямая одной плоскости перпендикулярна другой плоскости; в следствии известна перпендикулярность плоскостей и рассматривается прямая, перпендикулярная их линии пересечения. Их легко перепутать из-за похожих слов и общей темы. Проверь направление рассуждения: какие факты даны, а какой перпендикулярности нужно прийти.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о перпендикулярности прямых и прямой и плоскости, а также признак перпендикулярности прямой и плоскости. Именно на таких отношениях строятся линейный угол и доказательство перпендикулярности плоскостей. Полученные свойства пригодятся при решении задач на углы и расстояния в пространстве. Они также используются при изучении многогранников и построении перпендикуляров.

Что запомнить

• Общая граничная прямая граней двугранного угла называется его ребром.
• Линейный угол строят в сечении, перпендикулярном ребру.
• Величина двугранного угла равна величине его линейного угла.
• Перпендикулярные плоскости образуют прямой двугранный угол.
• Если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.
• В перпендикулярных плоскостях прямая одной из них, перпендикулярная линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости.