"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Двугранный угол образован двумя полуплоскостями с общей границей — ребром. Чтобы измерить его, строят линейный угол: его стороны лежат в гранях и перпендикулярны ребру. Величина этого плоского угла и есть величина двугранного. Она не меняется, если выбрать другую точку на ребре. Это позволяет сравнивать двугранные углы и определять, является ли угол острым, прямым, тупым или развёрнутым.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей границей. Эти полуплоскости называют гранями двугранного угла, а их общую границу — ребром. В отличие от обычного плоского угла, здесь есть не две стороны-луча, а две части плоскостей. Это определение помогает представить, какую фигуру нужно измерять.
Ребро двугранного угла — общая прямая двух его граней. Оно задаёт, где именно грани соединяются и как они расположены друг относительно друга. При описании двугранного угла важно учитывать не только грани, но и эту прямую: именно относительно неё строят угол для измерения. Поэтому ребро служит основой для дальнейших построений.
Линейный угол двугранного угла — угол, образованный лучами, проведёнными из одной точки ребра перпендикулярно этому ребру в каждой грани. Каждый луч лежит в своей грани, а вершина плоского угла находится на ребре. Такой угол удобен тем, что его можно измерять обычными способами. Он показывает, насколько грани раскрыты друг относительно друга.
Величина двугранного угла — величина его линейного угла. Для одного и того же двугранного угла она не зависит от того, какую точку на ребре выбрали для построения. Благодаря этому двугранный угол можно сравнивать с обычным плоским углом и определять по его величине. Сама фигура при этом остаётся пространственной.
Чтобы измерить двугранный угол, нужно перейти от двух граней к плоскому углу, который можно сравнивать с привычными углами. Для этого проводят плоскость, перпендикулярную ребру: она пересекает каждую грань по прямой. Эти прямые лежат в плоскости сечения, а угол между ними и есть линейный угол. Перпендикулярность ребру нужна, чтобы сечение показывало именно раскрытие граней поперёк общей границы, а не наклонный срез.
Построение линейного угла начинается с выбора точки на ребре. Через неё в первой грани проводят луч, перпендикулярный ребру, и так же проводят луч во второй грани. Полученные лучи образуют плоский угол с вершиной на ребре. Если хотя бы один луч не перпендикулярен ребру, сечение не будет нужным поперечным сечением, и угол между лучами нельзя считать линейным.
Почему линейные углы одного двугранного угла равны? Возьмём две точки на ребре и проведём через них плоскости, перпендикулярные этой прямой. Эти плоскости параллельны, а каждая грань пересекает их по параллельным прямым. Поэтому стороны линейных углов соответственно параллельны; при одинаковом выборе сторон образованные углы равны. Значит, результат измерения не зависит от места построения.
Вид двугранного угла определяют по величине линейного угла, как вид обычного угла — по его градусной мере. Если линейный угол меньше 90°, двугранный угол острый; если равен 90° — прямой. При величине больше 90°, но меньше 180° угол тупой. Если линейный угол равен 180°, двугранный угол развёрнутый.
Перенос точки построения вдоль ребра не меняет раскрытие граней. В сечениях через разные точки получаются пары соответственно параллельных лучей, а угол между такими лучами остаётся прежним. Поэтому линейные углы равны и служат одинаковой мерой одного двугранного угла. Выбирать точку можно там, где удобнее выполнить построение.
| Вид двугранного угла | Величина линейного угла | Что это означает |
|---|---|---|
| Острый | Меньше 90° | Грани раскрыты меньше, чем при прямом угле. |
| Прямой | 90° | Линейный угол прямой. |
| Тупой | Больше 90°, но меньше 180° | Линейный угол больше прямого, но меньше развёрнутого. |
| Развёрнутый | 180° | Линейный угол является развёрнутым. |
Сначала найдите или постройте линейный угол, затем сравните его величину с 90° и 180°. По результату определите вид двугранного угла. Таблица показывает, что классификация основана на измерении плоского угла, а не на внешнем виде граней.
Задача 1. На рисунке даны две полуплоскости с общей границей. Укажите грани и ребро двугранного угла и постройте его линейный угол. Чтобы не перепутать элементы, сначала найдём, что именно у полуплоскостей общее. Затем выполним построение относительно этой общей границы.
Ответ: грани — данные полуплоскости, ребро — их общая прямая; линейный угол построен из перпендикулярных ребру лучей, лежащих в разных гранях. Если на схеме нет обозначений, грани и ребро можно назвать словами. Проверка построения: обе стороны угла должны начинаться в выбранной точке и быть перпендикулярными ребру.
Задача 2. Линейный угол двугранного угла равен 68°. Определите величину и вид двугранного угла. Здесь дан не сам двугранный угол в виде числа, а угол, которым его измеряют. По определению величины двугранного угла достаточно перенести данное значение.
Ответ: величина двугранного угла — 68°, он острый. Для проверки можно сначала определить вид линейного угла, а затем перенести этот вид на двугранный. Равенство величин позволяет сделать это без дополнительного пространственного вычисления.
Задача 3. Два двугранных угла имеют общее ребро. Их линейные углы смежны, причём один на 40° больше другого. Найдите величины углов. Смежные углы в сумме дают 180°, поэтому сначала найдём их величины. Затем эти же значения будут величинами двугранных углов.
Ответ: величины двугранных углов — 70° и 110°. Проверка: их линейные углы смежны, а 70° + 110° = 180°; разность равна 40°. Значит, найденные значения удовлетворяют обоим условиям задачи.
Ошибка — называть двугранным углом только плоский угол сечения. Так происходит потому, что именно плоский угол легко увидеть и измерить, но он лишь служит мерой пространственной фигуры. Проверьте себя: у двугранного угла должны быть две грани и общая прямая, а линейный угол используется для его измерения.
Ошибка — проводить стороны линейного угла не перпендикулярно ребру. Иногда выбирают любые лучи в гранях, считая, что достаточно их общего начала на ребре. Однако тогда угол между ними может зависеть от выбранных направлений и не измеряет раскрытие граней. Проверьте построение: каждый луч должен лежать в своей грани и образовывать с ребром прямой угол.
Ошибка — считать, что величина двугранного угла меняется при выборе другой точки на ребре. Это предположение возникает, если представить измерение как отдельное построение в каждой точке. На самом деле линейные углы в перпендикулярных сечениях равны, потому что их стороны соответственно параллельны. Для проверки сравните направления сторон построенных линейных углов: при корректном построении соответствующие стороны параллельны.
Ошибка — измерять двугранный угол по углу между произвольными прямыми, лежащими в его гранях. Такие прямые могут быть наклонены к ребру и друг к другу, поэтому их угол не обязательно показывает раскрытие граней. Чтобы избежать ошибки, сначала выделите ребро, а затем постройте в обеих гранях перпендикулярные ему лучи из одной точки. Только угол между ними является линейным.
Для работы с двугранным углом нужно знать, что такое полуплоскость и её граница, а также уметь распознавать перпендикулярные прямые. Понадобится и понятие плоского угла: линейный угол строится как обычный угол в специальном сечении. Эти знания помогают перейти от пространственной фигуры к её измерению на плоскости.
Линейный угол используют при изучении перпендикулярности плоскостей и углов между плоскостями. Он позволяет описывать взаимное расположение плоскостей через понятный плоский угол. Умение строить его помогает обосновывать, почему плоскости перпендикулярны, а не определять это только на глаз.
Как отличить двугранный угол от обычного плоского угла?
Плоский угол образован двумя лучами, а двугранный — двумя полуплоскостями с общей прямой границей. Плоский угол используют, чтобы измерить двугранный: для этого строят его линейный угол.
Как построить линейный угол двугранного угла?
Выберите точку на ребре двугранного угла. В каждой грани из этой точки проведите луч, перпендикулярный ребру. Угол между лучами и будет линейным.
Почему линейный угол измеряет двугранный?
Сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру, даёт обычный плоский угол. Его стороны показывают направления граней поперёк ребра, поэтому величину этого угла принимают за величину двугранного.
Зависит ли величина двугранного угла от точки на его ребре?
Нет, не зависит. Если взять другую точку на ребре, построенный линейный угол будет равен первоначальному, поэтому величина двугранного угла сохранится.
Как определить, является ли двугранный угол прямым?
Постройте его линейный угол и измерьте его. Если он равен 90°, двугранный угол прямой.
22. Двугранный угол
