22. Двугранный угол

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Полуплоскости называют гранями двугранного угла, и каждая из них лежит в своей плоскости. Это определение помогает представить угол не как плоскую фигуру, а как часть пространства между двумя гранями. Общая граница связывает их в одну фигуру.

Грани двугранного угла — две полуплоскости, которые его образуют. Каждая грань принадлежит отдельной плоскости, а вместе грани задают положение двугранного угла в пространстве. По ним можно определить, какие именно две стороны пересекающихся плоскостей рассматриваются. Это особенно полезно, когда плоскости делят пространство на несколько двугранных углов.

Ребро двугранного угла — общая граничная прямая его граней. Оно не является одной из граней: грань — полуплоскость, а ребро — линия, по которой такие полуплоскости ограничены. Ребро нужно, чтобы однозначно задать место соединения граней. Относительно него строят сечение для измерения угла.

Линейный угол двугранного угла — угол, образованный лучами пересечения граней с плоскостью, перпендикулярной ребру. Лучи выходят из точки, в которой плоскость сечения пересекает ребро. Такой угол переводит задачу о положении двух граней в задачу о знакомом плоском угле. По нему определяют величину двугранного угла.

Как это устроено

Двугранный угол задаётся двумя полуплоскостями с общей прямой: эта прямая служит ребром, а полуплоскости — гранями. Чтобы представить фигуру, можно мысленно раскрыть две створки, соединённые по линии сгиба: линия сгиба будет ребром, а створки — гранями. В отличие от плоского угла, здесь стороны не лучи, а области плоскостей. Поэтому для измерения недостаточно просто увидеть, что грани пересекаются.

Чтобы получить линейный угол, проводят плоскость, перпендикулярную ребру, и рассматривают лучи пересечения этой плоскости с гранями. В каждой грани линия пересечения плоскостей начинается в точке на ребре и идёт по соответствующей полуплоскости, поэтому получается луч. Перпендикулярность важна: она позволяет смотреть на грани поперёк ребра и сравнить их направления в одном сечении. Угол между полученными лучами и называется линейным.

Величина линейного угла не зависит от выбора точки на ребре и положения перпендикулярного сечения. Если перенести сечение вдоль ребра, грани останутся параллельными самим себе, а направления линий пересечения сохранятся. Поэтому образованные лучи задают равные углы. Можно выбрать точку и сечение, которые удобнее для построения или вычислений, не меняя ответ.

Мерой двугранного угла считают градусную меру его линейного угла. Это соглашение позволяет измерять пространственную фигуру средствами планиметрии: вместо сравнения двух граней достаточно найти угол между двумя лучами. Например, линейный угол в 90° означает, что двугранный угол прямой. При таком способе измерения важна именно градусная мера, а не длины отрезков на гранях.

Для нахождения угла между гранями в задаче выбирают удобное сечение, перпендикулярное их общему ребру, и определяют угол между полученными лучами. Сначала нужно установить, какие плоскости дают грани и по какой прямой они пересекаются. Затем находят точку на ребре и строят в каждой грани луч, перпендикулярный ребру в этой точке. Полученный угол можно вычислить по известным фигурам, например по свойствам треугольника.

Элементы двугранного угла и его измерение

Используйте таблицу как последовательность действий: найдите грани и их общее ребро, затем постройте перпендикулярное сечение. Угол между лучами этого сечения — линейный угол, а его градусная мера даёт ответ. Так проще не перепутать элементы фигуры и способ измерения.

Разбор задач

Задача 1. Постройте линейный угол двугранного угла с ребром l в точке A. Требуется получить плоский угол, который измеряет данный двугранный угол. Поэтому выбираем сечение через точку A, а не произвольную плоскость. Построение выполняем отдельно в каждой грани.

1. Проведите через A плоскость α, перпендикулярную прямой l.
2. Обозначьте луч пересечения α с первой гранью как Ax, а со второй — как Ay.
3. Убедитесь, что оба луча начинаются в A и лежат в соответствующих гранях. Тогда угол xAy является линейным углом двугранного угла.

Ответ: линейный угол — ∠xAy между лучами пересечения граней с плоскостью α.

Задача 2. Линейный угол двугранного угла равен 47°. Найдите величину двугранного угла. Здесь не требуется строить фигуру или вычислять дополнительные длины. По определению мера двугранного угла равна градусной мере его линейного угла. Значит, достаточно перенести указанную меру.

1. Запишите известное: градусная мера линейного угла равна 47°.
2. Используйте правило измерения: величина двугранного угла равна мере его линейного угла.
3. Следовательно, величина двугранного угла равна 47°.

Ответ: 47°.

Задача 3. Две плоскости пересекаются по прямой l. В перпендикулярном к l сечении угол между следами плоскостей равен 68°. Определите величину соответствующего двугранного угла. Следы — это прямые, по которым плоскость сечения пересекает исходные плоскости. Поскольку сечение перпендикулярно l, эти следы задают направления лучей линейного угла. Нужно соотнести указанное значение с мерой двугранного угла.

1. Общее ребро двух граней — прямая l, по которой пересекаются исходные плоскости.
2. Сечение перпендикулярно l, поэтому угол между его следами соответствует линейному углу двугранного угла.
3. Линейный угол равен 68°, а значит, такую же величину имеет соответствующий двугранный угол.

Ответ: 68°.

Типичные ошибки

Иногда ребром называют одну из граней. Это происходит, когда забывают, что угол образован двумя плоскими областями, а их общая граница — только линия. Проверьте себя: ребро должно быть прямой, а грань — полуплоскостью, лежащей в плоскости. Если обозначенный объект занимает часть плоскости, это грань, а не ребро.

Другая ошибка — измерять двугранный угол в произвольном сечении. Такое сечение может пересечь грани под разными углами и не дать линейный угол. Ошибку допускают, потому что в пространстве хочется выбрать самое заметное сечение, не проверив его направление. Перед построением убедитесь, что плоскость перпендикулярна ребру.

Можно ошибочно считать, что величина двугранного угла меняется при выборе другой точки на ребре. Обычно это кажется правдоподобным, если рисунки сечений выглядят по-разному или отличаются их расположением. Но перпендикулярные сечения дают равные линейные углы. Проверка простая: сравнивать нужно именно углы между лучами, а не место, где они нарисованы.

Не следует подменять линейный угол плоским углом между произвольно выбранными прямыми в гранях. Такие прямые могут не быть перпендикулярными ребру, поэтому угол между ними не измеряет двугранный угол. Причина ошибки — сходство всех плоских углов на чертеже. Проверьте, что обе стороны выбранного угла получены в одном сечении, перпендикулярном общему ребру.

Связь с другими темами

Для работы с двугранными углами нужны понятия прямой, плоскости и полуплоскости: без них нельзя описать грани и их общую границу. Также требуется понимать, что значит перпендикулярность прямой и плоскости. Это помогает правильно построить сечение и отличить линейный угол от произвольного плоского угла.

Понятие двугранного угла понадобится при изучении угла между плоскостями: общий случай измеряют через угол в перпендикулярном сечении. Оно встречается и в задачах о многогранниках, например при рассмотрении углов между гранями у их рёбер. Умение выделить ребро и построить линейный угол превращает такие пространственные задачи в знакомые задачи о плоских фигурах.

Что запомнить

• Двугранный угол образован двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.
• Общая граничная прямая граней называется ребром.
• Линейный угол получают в сечении плоскостью, перпендикулярной ребру.
• Мера двугранного угла равна градусной мере его линейного угла.
• Величина двугранного угла не зависит от выбора точки на ребре.