3.9. Двугранный угол

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Эта прямая называется ребром, а полуплоскости — гранями двугранного угла. Полуплоскость — часть плоскости по одну сторону от прямой, которая служит её границей. Такое описание помогает отличить угол от двух целых плоскостей.

Ребро двугранного угла — общая граничная прямая его граней. Оно принадлежит обеим граничным полуплоскостям и задаёт линию, вдоль которой грани соприкасаются. Ребро нужно учитывать, когда мы строим угол для измерения двугранного угла. Это прямая, а не отдельный луч.

Грани двугранного угла — две полуплоскости, образующие двугранный угол. Каждая грань лежит в своей плоскости, но состоит не из всей плоскости, а только из её части по одну сторону от ребра. Поэтому, называя грани, нужно указывать именно полуплоскости. Это позволяет точно описать, какая часть пространства образует угол.

Линейный угол двугранного угла — угол, образованный лучами, лежащими в его гранях, перпендикулярными ребру и исходящими из одной точки ребра. Его вершина находится на ребре, а стороны направлены внутрь соответствующих граней. Линейный угол нужен, чтобы измерить двугранный обычным способом — в градусах. Для построения важно соблюдать оба условия: лучи должны быть перпендикулярны ребру и начинаться в одной его точке.

Как это устроено

Назвать только две плоскости недостаточно, чтобы точно задать двугранный угол. Каждая из этих плоскостей разделяется ребром на две полуплоскости, и выбор разных частей может дать разные углы. Поэтому в определении говорят о двух гранях-полуплоскостях, а не о целых плоскостях. Их общая граничная прямая и есть ребро, которое позволяет однозначно указать, где грани соединяются.

Чтобы получить линейный угол, сначала выбирают точку на ребре. Затем в каждой грани проводят из этой точки луч, перпендикулярный ребру. Так получается обычный плоский угол с вершиной на ребре и сторонами в обеих гранях. Перпендикулярность важна: при наклонных лучах угол будет зависеть от их направления и не сможет правильно показать раскрытие граней.

Величина линейного угла не меняется, если выбрать другую точку на ребре. Причина в том, что ребро — одна прямая, а направления перпендикуляров к ней в каждой из двух граней остаются одинаковыми вдоль всего ребра. Поэтому соответствующие лучи образуют один и тот же угол при любом выборе вершины. Это позволяет измерять двугранный угол там, где удобнее построить линейный.

Градусной мерой двугранного угла считается градусная мера его линейного угла. Например, если между построенными перпендикулярными лучами 65°, то и двугранный угол равен 65°. Мы не измеряем наклон граней напрямую: сначала сводим пространственную задачу к плоскому углу. Так можно использовать знакомые способы измерения углов транспортиром или по их свойствам.

Вид двугранного угла определяют по его линейному углу. Если линейный угол меньше 90°, двугранный угол острый; если равен 90° — прямой; если больше 90°, но меньше 180° — тупой. Представьте, что две грани раскрываются вокруг общего ребра, а линейный угол показывает это раскрытие в сечении перпендикулярной плоскостью. Например, линейный угол 120° означает, что двугранный угол тупой.

Двугранный угол и его линейный угол

Сначала смотрите, какая фигура изображена: две полуплоскости или два луча. Затем находите ребро и проверяете, перпендикулярны ли ему стороны линейного угла. Для измерения двугранного угла используйте градусную меру правильно построенного линейного угла.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены две полуплоскости с общей прямой. Укажите грани и ребро образованного двугранного угла. Нужно распознать части фигуры по определению, а не принимать любую линию на рисунке за ребро. Общая граница двух полуплоскостей подскажет, какую прямую назвать ребром.

1. Найдите две изображённые полуплоскости, образующие двугранный угол. Каждая из них является одной гранью, даже если на рисунке показана лишь часть поверхности.
2. Проследите линию, которая является общей границей этих полуплоскостей. Она и будет ребром двугранного угла, потому что обе грани заканчиваются на одной прямой.

Ответ: грани — изображённые полуплоскости, ребро — их общая граничная прямая. Не называйте гранями целые плоскости: в задаче дан угол, образованный именно полуплоскостями. Не смешивайте ребро с лучами линейного угла.

Задача 2. В точке на ребре проведены лучи в гранях, перпендикулярные ребру. Угол между ними равен 65°. Найдите градусную меру двугранного угла. Лучи отвечают определению линейного угла, так как лежат в гранях, имеют общую вершину на ребре и перпендикулярны ему. Значит, можно сразу применить правило измерения.

1. Установите, какой угол образуют данные лучи. По условиям построения это линейный угол данного двугранного угла.
2. Приравняйте меру двугранного угла к мере линейного. Подставьте известное значение: 65°.

Ответ: 65°. Здесь не требуется выполнять дополнительные построения или вычисления, потому что нужный линейный угол уже задан. Если бы лучи не были перпендикулярны ребру, сначала пришлось бы построить линейный угол правильно.

Задача 3. Постройте линейный угол двугранного угла с заданным ребром и гранями, если его мера равна 120°. Определите вид двугранного угла. Угол задан заранее, поэтому построение должно дать именно 120°, а его стороны должны лежать в разных гранях. После построения классифицируем двугранный угол по линейному.

1. Выберите точку на ребре и примите её за вершину будущего линейного угла. В каждой грани проведите из этой точки луч перпендикулярно ребру.
2. Расположите лучи так, чтобы угол между ними был равен 120°. Это и есть требуемый линейный угол, поскольку выполнены условия о гранях, общей вершине и перпендикулярности ребру.
3. Сравните 120° с 90°. Так как 120° больше 90° и меньше 180°, линейный угол тупой, а значит, тупым является и двугранный угол.

Ответ: построить два луча в гранях, перпендикулярных ребру и образующих угол 120°; двугранный угол тупой. Для построения можно воспользоваться транспортиром. При выборе другой точки на ребре величина угла останется прежней.

Типичные ошибки

Первая ошибка — называть двугранным углом две целые плоскости. Её допускают, потому что грани лежат в плоскостях, но не учитывают, что каждая грань является полуплоскостью. Проверьте себя: можете ли вы указать, по какую сторону от ребра находится каждая грань? Если нет, значит, описаны плоскости, а не конкретные грани.

Вторая ошибка — путать ребро с лучом линейного угла. Это происходит потому, что все эти линии нарисованы рядом, однако ребро является общей прямой граней, а стороны линейного угла — лучами. Чтобы проверить ответ, найдите линию, принадлежащую обеим граням: она и будет ребром. Лучи же должны исходить из точки на этой линии.

Третья ошибка — строить линейный угол из лучей, не перпендикулярных ребру. Такой угол не подходит, потому что его величина может зависеть от наклона выбранных лучей, а не только от раскрытия граней. Перед измерением проверьте оба прямых угла между сторонами линейного угла и ребром. Если хотя бы одна сторона наклонена к ребру, построение нужно исправить.

Четвёртая ошибка — пытаться измерить угол между гранями напрямую, не используя линейный угол. В пространстве грани находятся в разных плоскостях, и привычный способ измерения плоского угла здесь не подходит. Постройте в гранях перпендикулярные ребру лучи из одной точки. Если полученный угол соответствует определению линейного, измерьте его и примите эту меру за меру двугранного.

Связь с другими темами

Для изучения двугранного угла нужны понятия прямой, плоскости и полуплоскости: из них составлены его ребро и грани. Также необходимо знать, что такое плоский угол и перпендикулярные прямые, потому что линейный угол строится с помощью перпендикуляров к ребру. Понимание этой темы пригодится при изучении углов между плоскостями и пространственных геометрических фигур. Например, двугранные углы помогают описывать, как расположены соседние грани многогранника.

Что запомнить

• У двугранного угла две грани и одно общее ребро.
• Грани двугранного угла — полуплоскости.
• Линейный угол строят в гранях перпендикулярно ребру.
• Мера двугранного угла равна мере его линейного угла.
• Линейный угол можно построить при выборе любой точки на ребре.