З Задачи к главе I

Определения и обозначения

Точка обозначает точное положение на плоскости и обычно называется заглавной латинской буквой: A, B или C. У неё нет длины и ширины, поэтому точка служит ориентиром для построений и описания расположения фигур. По названиям точек удобно записывать, какие объекты рассматриваются и где они находятся.

Прямая — бесконечная в обе стороны линия, на которой лежат точки. Её обозначают двумя заглавными буквами, например прямой AB; эти точки показывают, через какие места она проходит. Такая запись нужна, чтобы точно указать прямую, а не просто говорить о линии на чертеже.

Отрезок — часть прямой между двумя точками, включая сами точки-концы. Его длина выражается положительным числом, например AB = 5 см, а обозначение AB указывает на концы отрезка. Длина помогает сравнивать отрезки и вычислять неизвестные части.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом, которое называют вершиной. Лучи задают стороны угла, а вершину пишут в середине его трёхбуквенного обозначения: ∠AOB. Это позволяет понять, какие именно стороны и какая область угла рассматриваются.

Как это устроено

Прямая, луч и отрезок могут выглядеть на рисунке похоже, но отличаются продолжением и концами. У отрезка отмечены оба конца, у луча — начало и направление, а у прямой нет конечных точек. Поэтому сначала прочитайте обозначение и условные отметки, а затем установите, какие данные задают фигуру: две точки определяют отрезок или прямую, а для луча важны его начало и направление.

Через две различные точки проходит единственная прямая: если бы через них можно было провести две разные прямые, они пересекались бы в двух точках, хотя две прямые могут иметь не более одной общей точки. Это свойство позволяет провести прямую через заданные точки и обосновать, что другой прямой через них быть не может. В задачах так проверяют, что построение определено однозначно.

Сравнивать отрезки можно по их длинам: если AB = 4 см, а CD = 6 см, то AB короче CD. Если точки A, B и C расположены именно в таком порядке на одной прямой, целый отрезок AC состоит из частей AB и BC, поэтому AC = AB + BC. Если известна длина AC и одной части, другую находят вычитанием, но только после проверки расположения точек.

Луч, проведённый внутри угла, делит его на два угла с той же вершиной. Они вместе составляют исходный угол, поэтому величина целого равна сумме величин частей: если ∠AOB разделён лучом OC, то ∠AOB = ∠AOC + ∠COB. Чтобы найти неизвестную часть, из величины целого угла вычитают известную часть. Такое действие оправдано именно потому, что луч проходит внутри угла.

Прямой угол имеет величину 90°, а две прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом. На чертеже прямой угол часто отмечают маленьким квадратиком, но один лишь внешний вид не доказывает перпендикулярность. Для решения нужна отметка, данное условие или вывод из известного свойства; так чертёж помогает рассуждать, не подменяя доказательство.

Основные фигуры главы I и их свойства

Используйте таблицу, чтобы сначала определить фигуру по её обозначению и устройству, а затем выбрать подходящее свойство. Например, для отрезка ищут длину, а для угла — его величину и части. Если в задаче говорится о перпендикулярности, проверьте, чем она подтверждена.

Разбор задач

Длина целого отрезка

Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Известно, что AB = 4 см, BC = 7 см; нужно найти AC. Указание «B между A и C» означает, что две части идут подряд и составляют весь отрезок.

1. Запишем связь между целым отрезком и его частями: AC = AB + BC. Это правило применимо, потому что B лежит между концами A и C.

2. Подставим известные длины: AC = 4 + 7 = 11 см. Складываем именно длины двух соседних частей, а не произвольных отрезков.

Ответ: AC = 11 см.

Часть угла

Луч OC проходит внутри угла AOB, величина которого равна 86°. Известно также, что ∠COB = 31°; найдём ∠AOC. Поскольку луч находится внутри угла, исходный угол состоит из двух указанных частей.

1. Запишем сумму частей: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB. Так мы связываем искомый угол с целым и известной частью.

2. Вычтем известную величину: ∠AOC = 86° − 31° = 55°. Проверка сложением даёт 55° + 31° = 86°.

Ответ: ∠AOC = 55°.

Неизвестная часть отрезка

На прямой точки A, B, C, D расположены в указанном порядке. Известны AB = 3 см, CD = 5 см и AD = 13 см; требуется найти BC и объяснить единственность ответа. Порядок точек означает, что AD состоит ровно из трёх последовательных частей: AB, BC и CD.

1. Запишем равенство для целого отрезка: AD = AB + BC + CD. Это следует из расположения точек, а не только из внешнего вида чертежа.

2. Подставим известные значения: 13 = 3 + BC + 5. Сложим известные длины и получим 13 = 8 + BC.

3. Вычтем 8 из 13: BC = 5 см. Ответ единственный, потому что длина BC однозначно определяется равенством BC = AD − AB − CD.

Ответ: BC = 5 см.

Типичные ошибки

Считать отрезок и прямую одним и тем же неверно: у отрезка есть два конца и конечная длина, а прямая продолжается бесконечно в обе стороны. Путаница возникает потому, что на рисунке прямая тоже изображена ограниченной чертой. Проверьте обозначения и выясните, указаны ли концы отрезка или линия продолжается в обе стороны.

Складывать длины, не проверив положение частей, нельзя: выбранные отрезки могут не составлять целый или не идти подряд. Часто ошибку вызывает желание сразу применить знакомое правило сложения. Перед вычислением назовите целый отрезок и проверьте по условию порядок его точек; затем запишите равенство частей.

Вычитать величины углов можно, только если один угол действительно является частью другого. Иначе разность чисел не обязана быть величиной какого-либо угла на чертеже. Установите, что луч проходит внутри целого угла, запишите сумму частей и лишь затем перенесите известное слагаемое вычитанием.

Объявлять прямые перпендикулярными только по виду чертежа — ненадёжно: рисунок может быть неточным. Обычно так делают, потому что угол визуально похож на прямой. Найдите в условии прямое указание, специальную отметку или свойство, из которого следует угол 90°; без подтверждения перпендикулярность не доказана.

Связь с другими темами

Решение задач начинается с чтения геометрических обозначений: нужно отличать точки, прямые, лучи и отрезки и понимать порядок точек на прямой. Это помогает переводить чертёж в точные записи и не приписывать фигурам неуказанные свойства. Сложение и вычитание длин и величин углов опирается на арифметику и измерение. Те же приёмы понадобятся при изучении треугольников и в задачах, где каждый вывод требуется обосновать.

Что запомнить

• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Длина отрезка равна сумме длин его частей.
• Величина угла равна сумме величин углов, на которые он разделён лучом.
• Прямой угол имеет величину 90°.
• Перпендикулярные прямые образуют прямые углы.
• Рисунок помогает понять условие, но не заменяет доказательство.