З Задачи к главе I

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, у которого есть длина и направление. Два вектора равны, если они одинаково направлены и имеют равные длины, даже если их начала находятся в разных точках. Вектор с нулевой длиной называют нулевым и обозначают 0⃗; он нужен, например, чтобы записывать результат сложения противоположных векторов.

Координаты вектора — числа, задающие его проекции на координатные оси, то есть изменения по каждой оси при движении вдоль вектора. Вектор с координатами x и y записывают как a⃗ = (x; y). Такая запись позволяет выполнять действия с векторами численно и находить их длины.

Скалярное произведение векторов — число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗| cos α. Если a⃗ = (x₁; y₁), b⃗ = (x₂; y₂), то a⃗ · b⃗ = x₁x₂ + y₁y₂. По этому числу удобно проверять перпендикулярность и находить угол.

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Их координаты пропорциональны: один вектор можно получить из другого умножением на число, которое может быть отрицательным. Это определение помогает проверять, параллельны ли направления векторов, не строя чертёж.

Как это устроено

Сначала выясни, какие векторы заданы и какие отношения между ними известны: например, равенство, параллельность или длина. Затем выбери геометрический или координатный способ, потому что у каждого своя сильная сторона: чертёж показывает направление и связь отрезков, а координаты дают точные вычисления. Если условие содержит координаты вершин, обычно удобно начать с координатного метода. Если векторы заданы через стороны фигуры, полезно сначала выразить их геометрически.

Сложение векторов можно представить правилом треугольника: конец первого совмещают с началом второго, а сумма направлена от начала первого к концу второго. Правило параллелограмма применяют, когда начала векторов совмещены: диагональ из общего начала задаёт сумму. Вычитание a⃗ − b⃗ понимают как сложение a⃗ и вектора, противоположного b⃗, поэтому направление второго вектора меняется. Такой взгляд помогает не перепутать порядок вычитания.

Координатный метод заменяет геометрические действия вычислениями, поскольку каждая координата отвечает за движение вдоль отдельной оси. Для суммы складывают первые координаты между собой и вторые между собой; для разности так же вычитают соответствующие компоненты. Например, горизонтальная составляющая не смешивается с вертикальной. Поэтому перед вычислением удобно записать координаты векторов в одинаковом порядке.

Длину вектора находят по теореме Пифагора: его координаты являются катетами прямоугольного треугольника, а длина — гипотенузой. Поэтому для (x; y) получается √(x² + y²), причём знак исходной координаты после возведения в квадрат не влияет на длину. Равенство длин можно проверить, сравнив квадраты длин, чтобы не извлекать корни. Перпендикулярность удобно проверять скалярным произведением: если оно равно нулю, угол между ненулевыми векторами прямой.

В составной задаче полезно разбить фигуру на простые части и выразить нужные векторы через известные. Так, диагональ можно представить суммой двух векторов вдоль сторон, а медиану — вектором от вершины к середине противоположной стороны. После вычислений проверь, соответствует ли ответ исходной фигуре: длина не должна быть отрицательной, а найденная перпендикулярность должна подтверждаться нулевым скалярным произведением. Эта проверка помогает заметить арифметическую или смысловую ошибку.

Выбор приёма для решения задач о векторах

Сначала найди в таблице требуемый результат, затем выбери соответствующий приём. Последний столбец используй как короткую проверку перед тем, как записать ответ. Если условие смешанное, можно последовательно применить несколько строк.

Разбор задач

Сумма и длина вектора

Условие. Даны векторы a⃗ = (2; −1) и b⃗ = (−3; 4). Найдите координаты вектора a⃗ + b⃗ и его длину.

1. При сложении векторов складываем соответствующие координаты: первая с первой, вторая со второй. Получаем a⃗ + b⃗ = (2 + (−3); −1 + 4) = (−1; 3).
2. Чтобы найти длину результата, используем формулу √(x² + y²). Для координат (−1; 3) она даёт √((−1)² + 3²) = √10.
3. Проверяем вычисления: первая координата отрицательная, поскольку −3 по модулю больше 2; длина при этом положительна. Значит, полученные координаты и длина согласуются со смыслом действий.

Ответ: a⃗ + b⃗ = (−1; 3), длина равна √10.

Проверка коллинеарности

Условие. Даны точки A(1; 2), B(5; −1), C(−2; 3). Проверьте, коллинеарны ли векторы AB и AC.

1. Сначала находим координаты векторов: из координат конца вычитаем координаты начала. AB = (5 − 1; −1 − 2) = (4; −3), а AC = (−2 − 1; 3 − 2) = (−3; 1).
2. Для коллинеарности координаты должны быть пропорциональны с одним и тем же коэффициентом. Отношения первых координат дают −3/4, а вторых — −1/3; они не равны.
3. Значит, нельзя умножить один из этих векторов на одно число и получить другой. Следовательно, векторы не коллинеарны.

Ответ: векторы AB и AC не коллинеарны.

Проверка перпендикулярности медиан

Условие. В треугольнике ABC вершины имеют координаты A(0; 0), B(4; 1), C(1; 5). Проверим, перпендикулярны ли медианы из B и C. Формулировка «если это следует из данных» требует сначала проверить само утверждение, а не считать его верным заранее.

1. Медиана из B идёт к середине AC: M = ((0 + 1)/2; (0 + 5)/2) = (½; 5/2). Её направляющий вектор BM = (½ − 4; 5/2 − 1) = (−7/2; 3/2).
2. Медиана из C идёт к середине AB: N = ((0 + 4)/2; (0 + 1)/2) = (2; ½). Направляющий вектор CN = (2 − 1; ½ − 5) = (1; −9/2).
3. Вычисляем скалярное произведение: BM · CN = (−7/2) · 1 + (3/2) · (−9/2) = −7/2 − 27/4 = −41/4. Оно не равно нулю, поэтому медианы не перпендикулярны.

Ответ: утверждение не следует из данных; медианы не перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно −41/4.

Типичные ошибки

Координаты AB иногда находят как координаты A минус координаты B. Так путают начальную и конечную точки, хотя вектор направлен от начала к концу. Проверка проста: AB = (xB − xA; yB − yA), а координаты BA должны быть противоположны.

При сложении или вычитании векторов могут сложить их длины. Это неверно, потому что длина не учитывает направление и не задаёт положение вектора; складывают сами векторы, а по координатам — соответствующие компоненты. Для проверки представь два равных вектора, направленных в противоположные стороны: их сумма нулевая, а сумма длин — нет.

Коллинеарность иногда проверяют равенством координат. Но достаточно не равенства, а пропорциональности: коэффициент может быть отрицательным, если векторы направлены в разные стороны. Сравни отношения соответствующих координат или проверь, получается ли один вектор умножением другого на число; отдельно учти нулевые координаты.

Перпендикулярность могут ошибочно связывать с равенством длин или наличием нулевых координат. Эти признаки сами по себе ничего не доказывают: перпендикулярность проверяют нулевым скалярным произведением ненулевых векторов. Перед выводом перемножь соответствующие координаты, сложи результаты и проверь арифметику.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужны координаты точек, координатные оси и формула расстояния между двумя точками: именно из разностей координат концов получают координаты вектора. Теорема Пифагора объясняет формулу его длины. В дальнейшем векторные методы помогают применять метод координат, доказывать свойства фигур и решать задачи на углы и расстояния. Поэтому полезно уметь переходить от геометрического описания к вычислениям и обратно.

Что запомнить

• Координаты вектора AB получают вычитанием координат A из координат B.
• При сложении и вычитании векторов соответствующие координаты складывают или вычитают.
• Длина вектора с координатами (x; y) равна √(x² + y²).
• Коллинеарные векторы имеют пропорциональные координаты.
• Нулевое скалярное произведение ненулевых векторов означает их перпендикулярность.
• Перед вычислениями выбери способ: геометрический, координатный или комбинированный.