З Задачи к главе I

Определения и обозначения

Стереометрическая аксиома — исходное утверждение о точках, прямых и плоскостях пространства, которое принимают без доказательства и используют при решении задач. Например, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Аксиомы помогают обосновывать, какие объекты принадлежат одной плоскости и где искать нужное пересечение.

Параллельные прямые в пространстве — прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. Одного условия «не пересекаются» недостаточно: две прямые могут быть скрещивающимися. Определение нужно, чтобы не путать эти два случая и выбирать подходящий способ доказательства.

Параллельность прямой и плоскости означает, что у них нет общих точек, причём прямая не лежит в плоскости. Если прямая лежит в плоскости, у них, напротив, бесконечно много общих точек. Это различие помогает правильно применять признак параллельности и не смешивать его с принадлежностью.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости. Их нельзя считать параллельными, хотя на плоском рисунке они могут выглядеть как непересекающиеся. Понятие нужно, чтобы описать все варианты взаимного расположения двух прямых в пространстве.

Как это устроено

Начинать пространственную задачу удобно с выбора плоскости, внутри которой можно рассуждать. Проверь, какие три точки не лежат на одной прямой или какие пересекающиеся прямые задают нужную плоскость. По аксиомам через такие точки или прямые проходит определённая плоскость, а значит, можно применять факты планиметрии. Этот шаг важен потому, что свойства параллельных прямых относятся к прямым одной плоскости, а не к произвольной паре в пространстве.

Принадлежность точек одной плоскости помогает установить, где пересекаются плоскости. Если две точки принадлежат обеим плоскостям, то прямая, проходящая через них, также лежит в каждой из этих плоскостей. Поэтому она является их общей прямой. Так вместо попытки угадать пересечение по рисунку получают его из принадлежности точек и свойств плоскости.

Чтобы классифицировать две прямые, сначала проверь, пересекаются ли они. Если пересекаются, через них проходит плоскость; если не пересекаются, выясни, можно ли провести через обе одну плоскость. В последнем случае прямые параллельны, а если такой плоскости нет — скрещиваются. Причина такого порядка в том, что непересечение само по себе не показывает, лежат ли прямые в одной плоскости.

Для признака параллельности прямой и плоскости найди в плоскости прямую, параллельную данной. Затем отдельно докажи, что исходная прямая не лежит в плоскости: например, укажи точку прямой, не принадлежащую плоскости. Тогда общих точек у прямой и плоскости нет, и можно заключить, что они параллельны. Проверка второго условия нужна, чтобы исключить случай, когда прямая целиком содержится в плоскости.

Для доказательства параллельности плоскостей ищут две пересекающиеся прямые в одной плоскости и две пересекающиеся в другой. Если прямые первой пары соответственно параллельны прямым второй пары, применяют признак параллельности плоскостей. Две прямые необходимы, потому что одна пара задаёт только одно направление и не исключает пересечения плоскостей. Если затем обе параллельные плоскости пересечь третьей, их линии пересечения будут параллельны.

Взаимное расположение объектов в пространстве

Сначала выбери строку, соответствующую объектам задачи, и перечисли возможные варианты их расположения. Затем проверь именно те условия, которые отличают нужный вариант от остальных. Таблица помогает составить план доказательства, но не заменяет его.

Разбор задач

Задача 1. В тетраэдре ABCD определите взаимное расположение прямых AB и CD. Их нельзя объявить скрещивающимися только потому, что на чертеже они выглядят непересекающимися: требуется проверить возможность общей плоскости. Грани ABC и ABD не содержат обе прямые, поэтому рассмотрим, может ли одна плоскость включать все четыре вершины.

1. Если AB и CD лежат в одной плоскости, то эта плоскость содержит точки A, B, C. Эти точки не лежат на одной прямой, поэтому они задают плоскость ABC.
2. Тогда точка D должна принадлежать плоскости ABC. Но вершины тетраэдра не лежат в одной плоскости, значит, такого быть не может.
3. Прямые AB и CD не пересекаются: AB лежит в грани ABC, а CD пересекает плоскость ABC только в точке C, которая не принадлежит AB.

Ответ: AB и CD скрещиваются. Сначала мы исключили общую плоскость, затем отдельно проверили, что прямые не пересекаются.

Задача 2. В пирамиде SABCD основание ABCD — параллелограмм. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости SAB. Здесь основание лежит в плоскости ABCD, а AB — одна из прямых этой плоскости и одновременно лежит в плоскости SAB. Значит, можно проверить, подходит ли AB для признака параллельности прямой и плоскости.

1. Так как ABCD — параллелограмм, противоположные стороны AB и CD параллельны.
2. Прямая AB лежит в плоскости SAB, следовательно, CD параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости.
3. Плоскости основания ABCD и SAB пересекаются по прямой AB. Прямая CD параллельна AB и не совпадает с ней, поэтому не имеет с плоскостью SAB общих точек.

Ответ: CD параллельна плоскости SAB. В доказательстве использованы и параллельность прямых, и проверка, что CD не лежит в данной плоскости.

Задача 3. Плоскости α и β пересекаются с плоскостью γ по прямым a и b. Докажите, что если α параллельна β, то a параллельна b; кроме того, пусть в α лежат пересекающиеся прямые p и q, а в β — пересекающиеся прямые p₁ и q₁, причём p ∥ p₁ и q ∥ q₁. Нужно связать признак параллельности плоскостей с линиями пересечения.

1. Поскольку p и q пересекаются и соответственно параллельны p₁ и q₁, по признаку плоскости α и β параллельны.
2. Плоскость γ пересекает обе параллельные плоскости. Прямые a и b — линии этих пересечений.
3. Если бы a и b пересекались, их общая точка принадлежала бы и α, и β, что невозможно для параллельных плоскостей. Они лежат в одной плоскости γ и не пересекаются.

Ответ: α ∥ β, а линии их пересечения с γ параллельны. Шаги показывают, как сначала доказать параллельность плоскостей, а затем получить свойство их пересечений.

Типичные ошибки

Ошибка: считать прямые параллельными только потому, что они не пересекаются. Так рассуждают, перенося правило из плоскости на пространство, хотя там возможны скрещивающиеся прямые. Проверь, можно ли провести через обе прямые одну плоскость: если нельзя, они скрещиваются. Это проверяет себя надёжнее, чем взгляд на рисунок.

Ошибка: определять по изображению, принадлежит ли точка плоскости. Из-за условного перспективного рисунка точка может казаться лежащей в плоскости, хотя это не следует из условия. Принадлежность нужно подтвердить данными задачи, аксиомой или доказательством. Спроси себя, на каком основании ты включил точку в плоскость.

Ошибка: применить признак параллельности прямой и плоскости, не проверив принадлежность прямой-помощника этой плоскости. Ученик находит параллельную прямую, но не устанавливает, где она лежит. Без этого признак неприменим. Проверь, что вспомогательная прямая действительно содержится в рассматриваемой плоскости, а исходная в ней не лежит.

Ошибка: доказывать параллельность плоскостей по одной паре параллельных прямых. Одно направление не исключает, что плоскости пересекаются. Для признака нужны две пересекающиеся прямые в каждой плоскости и соответствие обеих пар. Перед выводом проверь и пересечение каждой пары, и параллельность соответствующих прямых.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны аксиомы стереометрии, их следствия и признаки параллельности прямых и плоскостей: именно они дают основания для выводов, а не внешний вид чертежа. Умение находить общие плоскости и линии пересечения также помогает строить доказательства о пространственных фигурах. Позже эти же способы рассуждения понадобятся при изучении перпендикулярности, расстояний и углов в пространстве. Поэтому полезно сразу отделять то, что дано, от того, что ещё требуется доказать.

Что запомнить

• В пространстве две непересекающиеся прямые могут быть скрещивающимися.
• Параллельные прямые обязательно лежат в одной плоскости.
• Прямая параллельна плоскости, если она не имеет с ней общих точек.
• Для доказательства параллельности плоскостей используют две пересекающиеся прямые каждой из них.
• В пространственной задаче каждый вывод о взаимном расположении объектов нужно обосновывать.