6.3. Условность аксиом

Определения и обозначения

Аксиома — исходное утверждение, принимаемое без доказательства внутри определённой системы. Это не догадка и не утверждение, которое просто забыли доказать: аксиома задаёт правило рассуждений. Она нужна, чтобы начать строить теорию и не доказывать каждое положение через бесконечную цепочку других положений.

Система аксиом — набор исходных утверждений, из которых логически выводятся определения, теоремы и следствия. Отдельные положения в такой системе работают совместно: они описывают допустимые свойства рассматриваемых объектов. Система нужна, чтобы было ясно, на каких основаниях построено доказательство и какие именно свойства используются.

Условность аксиом — зависимость содержания и истинности аксиом от выбранной математической системы и смысла её основных понятий. Слово «условность» означает, что аксиома действует в рамках принятой системы, а не безотносительно к ней. Это понятие помогает понять, почему разные системы геометрии могут иметь разные исходные правила.

Математическая модель — набор объектов и отношений между ними, в котором выполняются заданные аксиомы. Например, объектами могут быть не привычные точки и прямые, а другие множества, которым сопоставлены соответствующие отношения. Модель нужна, чтобы проверить, реализуются ли аксиомы на конкретных объектах и не требуют ли они взаимоисключающих свойств.

Как это устроено

Аксиомы не являются безусловными истинами, потому что их смысл задаётся внутри теории. Геометрия начинает работать после того, как выбраны исходные положения и определено, о каких объектах идёт речь. Поэтому аксиомы похожи на правила игры: по ним нельзя объявить саму игру «неправильной», но можно выбрать другой набор правил и получить другую игру. При этом правила должны быть согласованы между собой и пригодны для построения содержательной теории.

Теорему получают не простым наблюдением за чертежом, а логическими рассуждениями, опирающимися на аксиомы, определения и ранее доказанные теоремы. Фраза «из данных аксиом следует теорема» означает: если принять исходные положения, то вывод можно получить по правилам логики. Значит, истинность теоремы рассматривается относительно этой системы. Если поменять одну из исходных аксиом, доказательство может перестать работать, а утверждение — перестать быть верным в новой геометрии.

Основные понятия, например точка и прямая, нельзя полностью определить через более простые понятия без конца: тогда каждое определение потребовало бы следующего, и цепочка не имела бы начала. Поэтому в аксиоматическом построении часть понятий принимают как исходные. Их смысл раскрывают не отдельным исчерпывающим определением, а свойствами и отношениями, заданными системой аксиом. Так становится понятно, как с этими понятиями можно рассуждать.

Показательный пример — положение о параллельных прямых. Если принять евклидскую аксиому параллельных, получается евклидова геометрия; если заменить её и сохранить остальные исходные положения, можно построить геометрию Лобачевского. В ней через точку вне данной прямой проходят несколько прямых, которые её не пересекают. Замена не означает, что прежняя система опровергнута: меняется исходное условие, а вместе с ним меняются некоторые выводы.

Доверие к системе поддерживает её математическая модель: если найдены объекты и отношения, для которых выполняются аксиомы, система не выглядит набором несовместимых требований. Такая проверка позволяет увидеть, как именно аксиомы реализуются. Строго говоря, модель показывает непротиворечивость системы относительно той математики, в которой построена сама модель. Поэтому существование модели — весомое основание доверять системе, но его нужно понимать вместе с этим условием.

Сравнение евклидовой и неевклидовой геометрий

Таблица показывает, какие положения меняются при выборе другой аксиомы о параллельных и к каким геометрическим следствиям это приводит. Сравнивайте не только формулировки, но и то, что каждая из них относится к своей системе аксиом. Это помогает не объявлять одну геометрию ошибочной только за отличие от другой.

Разбор задач

Задача 1. Объясните, что означает утверждение «из данных аксиом следует теорема», и приведите пример зависимости теоремы от выбранной аксиомы. Нужно отличить логическое следствие от истины, которую считают верной независимо от системы. Для примера возьмём сумму углов треугольника в двух геометриях.

1. Уточним значение слова «следует»: из аксиом и уже установленных положений по правилам логики выводится утверждение.
2. В евклидовой геометрии из принятой системы аксиом доказывают, что сумма углов треугольника равна 180°.
3. В геометрии Лобачевского меняется аксиома о параллельных, и сумма углов треугольника оказывается меньше 180°.

Ответ. Теорема является следствием именно той системы аксиом, в которой её доказали. Пример показывает, что при изменении исходного положения результат может стать другим, не превращая прежнее доказательство в ошибку.

Задача 2. Проверить, может ли совокупность объектов и отношений быть моделью системы, если все её аксиомы выполняются, кроме аксиомы о параллельных. Задание важно читать точно: моделью заданной системы является только такая совокупность, где выполнены все её аксиомы. Проверим соответствие по шагам, не делая вывод по одному совпавшему свойству.

1. Перечислим аксиомы системы, разделив их на аксиому о параллельных и остальные исходные положения.
2. Проверим, что остальные аксиомы выполняются для выбранных объектов и отношений.
3. Отдельно проверим положение о параллельных; по условию оно нарушается.
4. Сравним результат с требованиями: для модели заданной системы должны выполняться все аксиомы, а не только большинство.

Ответ. Такая совокупность не является моделью системы, в которой аксиома о параллельных обязательна. Она может служить моделью другой системы, если в ней эту аксиому заменили и все остальные требования согласованы.

Задача 3. Сравнить положение о параллельных и сумму углов треугольника в евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского. Объяснить, почему оба набора утверждений логически возможны. Здесь недостаточно перечислить различия: нужно связать их с выбором исходной аксиомы и существованием соответствующей системы.

1. В евклидовой геометрии через точку вне прямой проходит ровно одна параллельная; сумма углов треугольника равна 180°.
2. В геометрии Лобачевского через точку вне прямой проходят несколько прямых, не пересекающих её; сумма углов треугольника меньше 180°.
3. Установим причину различий: в системах по-разному выбрана аксиома о параллельных, поэтому изменяются и логические следствия.
4. Проверим смысл слова «возможны»: каждая геометрия последовательно выводит свои теоремы из принятой системы аксиом, а модели поддерживают непротиворечивость соответствующих систем.

Ответ. Оба набора утверждений логически возможны внутри своих аксиоматических систем. Они описывают разные геометрии, а не два взаимоисключающих ответа в одной и той же системе.

Типичные ошибки

Считать аксиомы доказанными утверждениями — значит путать исходное положение с результатом рассуждения. Такую ошибку допускают, потому что аксиомы часто звучат очевидно. Проверьте себя вопросом: приводится ли доказательство из других положений или утверждение принято как начало системы?

Считать аксиомы произвольными из-за их условности — неверно: выбор должен задавать связную систему, а не набор любых фраз. Ошибку провоцирует бытовой смысл слова «условный», который иногда понимают как «какой угодно». Проверяйте, не приводят ли аксиомы к противоречиям и можно ли объяснить, для каких задач подходит система.

Смешивать аксиому и теорему — значит считать доказательство несущественным или приписывать исходному положению доказанность. Обычно это происходит, когда в обоих случаях речь идёт об утверждениях. Отличайте их по роли: аксиому принимают в начале, а теорему выводят из аксиом, определений и ранее доказанных результатов.

Объявлять геометрию Лобачевского ошибочной только потому, что её аксиома параллельных отличается от евклидской, нельзя. Такое мнение возникает, если считать евклидову геометрию единственно возможной. Проверьте, к какой системе относится утверждение и строится ли внутри неё последовательное доказательство; различие исходных правил само по себе не означает ошибку.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения, аксиомы и теоремы планиметрии, логическая структура доказательства и евклидская аксиома параллельных. Дальше условность аксиом пригодится при изучении аксиоматического метода, неевклидовых геометрий и сравнении математических моделей. На практике идея связана с выбором модели, которая подходит для описания геометрических объектов и физических пространств: выводы зависят от того, какие свойства приняты исходными.

Что запомнить

• Аксиомы принимаются без доказательства внутри выбранной системы.
• Смысл основных геометрических понятий раскрывается системой аксиом.
• Теоремы являются логическими следствиями аксиом.
• Условность аксиом не означает их произвольности.
• Изменение аксиомы может привести к другой, но логически состоятельной геометрии.
• Евклидова и неевклидова геометрии различаются прежде всего аксиомой о параллельных.
• Математическая модель показывает, что система аксиом может выполняться для конкретных объектов и отношений.