6.2. Роль аксиом

Определения и обозначения

Аксиома — исходное утверждение, принимаемое без доказательства в рамках данной геометрической теории. Иными словами, это правило, с которого начинают рассуждения, а не вывод, который нужно обосновать. Аксиомы нужны, чтобы у доказательств были исходные опоры.

Система аксиом — набор исходных утверждений, на которых строятся определения, доказательства и теоремы. Отдельные аксиомы задают правила о геометрических объектах и отношениях между ними. Понятие системы помогает видеть не одно изолированное правило, а общую основу теории.

Теорема — утверждение, истинность которого устанавливается доказательством на основе аксиом, определений и ранее доказанных результатов. В отличие от аксиомы, теорему не принимают просто как исходное положение. Она нужна, чтобы получать новые свойства фигур и применять их в следующих рассуждениях.

Доказательство — логическая последовательность рассуждений, показывающая, почему из известных положений следует доказываемое утверждение. Каждый шаг должен опираться на определение, аксиому или ранее доказанную теорему. Благодаря этому результат можно проверить, а не только принять на веру.

Как это устроено

Доказать абсолютно все утверждения геометрии невозможно, потому что каждое доказательство должно ссылаться на уже известные положения. Если для каждого из них требовать новое доказательство, цепочка оснований не будет иметь начала. Поэтому часть утверждений выбирают как исходные и принимают без доказательства; это и есть аксиомы. Остальные положения обосновывают, опираясь на эту основу.

Аксиома и определение выполняют разные задачи. Определение объясняет, что означает термин: например, какие отрезки называют равными. Аксиома же сообщает, какое свойство объектов принимается в данной теории, например что через две точки проходит единственная прямая. Без определений было бы неясно, о чём говорится, а без аксиом не было бы исходных фактов для доказательств.

Геометрическая теория развивается по цепочке. Сначала принимают аксиомы и вводят понятия с помощью определений, затем из них выводят теоремы. Доказанная теорема становится известным результатом и может использоваться в следующих рассуждениях. Так из небольшого набора исходных положений постепенно получают множество выводов.

Система аксиом должна быть согласованной: из неё нельзя вывести одновременно утверждение и его отрицание. Если противоречие возникло, рассуждения на основе такой системы перестают надёжно различать верные и неверные выводы. Поэтому при построении теории важно проверять, не конфликтуют ли принятые исходные положения. Согласованность позволяет использовать теоремы как обоснованные результаты.

Выбор аксиом важен потому, что именно они задают правила геометрического мира. Если заменить исходное положение, некоторые прежние выводы могут перестать следовать из новых правил, а вместо них появятся другие теоремы. Особенно наглядно это видно на аксиоме о параллельных прямых: разные исходные положения о параллельности приводят к разным геометриям. Поэтому теорема всегда рассматривается в рамках определённой системы аксиом.

Элементы построения геометрической теории

Чтобы определить роль незнакомого утверждения, сначала спроси себя, вводит ли оно значение термина или сообщает свойство объектов. Затем выясни, принимают ли это положение без доказательства или выводят из других фактов. Такая проверка помогает не путать определение, аксиому и теорему.

Разбор задач

1. Определяем статус утверждений

Условие. Определите статус утверждений: «через любые две точки проходит единственная прямая», «отрезки, имеющие равные длины, называются равными», «сумма углов треугольника равна 180°». Нужно различить исходное положение, ввод термина и результат, который доказывают. Для этого выясним, какую роль выполняет каждое высказывание.

1. Первое утверждение в обычной евклидовой геометрии принимают как аксиому: оно задаёт исходное свойство точек и прямых.
2. Во втором объясняется, что означает термин «равные отрезки»; это определение, а не доказуемое свойство.
3. Третье утверждение является теоремой евклидовой геометрии: его доказывают, опираясь на исходные положения, в том числе на аксиому о параллельных прямых.

Ответ: первое — аксиома, второе — определение, третье — теорема. При классификации важно смотреть не на то, насколько фраза кажется очевидной, а на её место в теории. Теорема требует доказательства, а определение задаёт значение слова.

2. Строим схему доказательства о параллельных прямых

Условие. Составьте логическую схему доказательства: если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой. Одной ссылки на рисунок недостаточно: нужно указать, почему прямые не пересекаются. Рассмотрим прямые a, b и c, где a ∥ c и b ∥ c.

1. По определению параллельные прямые не пересекаются. Значит, a не пересекает c, и b не пересекает c.
2. Предположим от противного, что a и b пересекаются в точке P. Тогда через P проходят две прямые a и b, каждая из которых параллельна c.
3. По свойству параллельных прямых через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную ей. Получилось бы, что таких прямых две, что противоречит этому свойству.
4. Следовательно, a и b не пересекаются. Поскольку они лежат в одной плоскости, по определению они параллельны.

Ответ: логическая цепочка использует определение параллельных прямых, свойство единственности параллельной прямой и рассуждение от противного. Перед применением этого свойства нужно проверить, что точка P не лежит на c: иначе a и b не могли бы быть параллельны c. В строгом доказательстве каждый такой переход следует пояснять.

3. Меняем аксиому о параллельных прямых

Условие. Объясните, какие выводы могли бы измениться, если заменить аксиому о параллельных прямых другим исходным положением. Здесь не требуется вычислять конкретные углы. Нужно выяснить, какие результаты зависят именно от выбранного правила о параллельности.

1. Отметим, что теорема, доказательство которой использует аксиому о параллельных прямых, зависит от неё.
2. При замене аксиомы прежнее доказательство может перестать работать: один из его шагов уже не будет обоснован новым правилом.
3. Тогда могут измениться свойства углов, суммы углов треугольника и другие результаты, связанные с параллельными прямыми.
4. Чтобы установить точные выводы, нужно построить новую систему и заново проверить доказательства. Нельзя автоматически переносить в неё все теоремы евклидовой геометрии.

Ответ: измениться могут теоремы, зависящие от аксиомы о параллельных прямых; в итоге получится другая геометрическая теория. Нельзя заранее утверждать, что изменится каждое свойство: независимые от этой аксиомы результаты могут сохраниться. Зависимость проверяют по цепочке обоснований конкретной теоремы.

Типичные ошибки

• Попытка доказать аксиому. Её допускают, потому что хочется обосновать каждую фразу, но аксиома является начальным положением выбранной теории. Проверь себя: если утверждение объявлено исходным в системе, доказывать нужно не его, а выводимые из него теоремы.
• Смешение аксиомы и определения. Оба элемента могут выглядеть как короткие утверждения, поэтому их легко спутать. Определение сообщает значение термина, а аксиома утверждает свойство объектов; спроси себя, вводится ли новое слово или говорится о геометрическом факте.
• Ссылка на рисунок вместо доказательства. Рисунок может казаться убедительным, но он показывает лишь частный случай и не охватывает все возможные положения фигур. Проверь, есть ли для каждого шага логическое основание, а не только зрительное впечатление.
• Использование недоказанной теоремы как очевидного факта. Знакомое утверждение может казаться настолько простым, что его основание забывают указать. Проверяй цепочку рассуждения: для каждого вывода назови аксиому, определение или уже доказанную теорему, на которую он опирается.

Связь с другими темами

Для работы с аксиомами нужно различать геометрический объект, его определение, утверждение и доказательство. Эти понятия связаны с логикой: доказательство строится как цепочка переходов от условий к следствиям, а иногда использует рассуждение от противного. Понимание исходных положений понадобится при изучении дальнейших теорем, особенно свойств параллельных прямых. Тот же подход применяют при изучении многогранников и пространственных фигур: выводы там тоже опираются на определения и аксиомы.

Что запомнить

• Аксиомы принимаются без доказательства.
• Аксиомы образуют исходную основу геометрии.
• Определение вводит понятие, а аксиома утверждает свойство.
• Теорема доказывается с опорой на аксиомы, определения и ранее доказанные теоремы.
• Доказательство должно быть логически последовательным.
• Изменение системы аксиом может изменить всю геометрическую теорию.