"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Прямоугольная система координат позволяет описать положение любой точки в пространстве с помощью трёх чисел. Для этого проводят три взаимно перпендикулярные оси с общим началом и выбирают направления отсчёта. Каждое число — координата — показывает положение точки вдоль одной оси. Пары осей образуют координатные плоскости, а нулевая координата указывает, что точка лежит на одной из них. Такой способ помогает строить точки и решать пространственные задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольная система координат в пространстве — три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и выбранными единицами измерения. Оси направлены вдоль трёх независимых направлений. Такая система нужна, чтобы задавать положение точек и описывать геометрические объекты числами.
Координатная ось — прямая с началом отсчёта, положительным направлением и единицей измерения; оси обозначают Ox, Oy и Oz. Начало всех трёх осей — точка O. Ось связывает одно направление в пространстве с числовой шкалой, поэтому координата показывает смещение вдоль неё.
Координатная плоскость — плоскость, проходящая через две координатные оси. Основные плоскости обозначают Oxy, Oyz и Ozx по входящим в них осям. Они нужны, чтобы отмечать положение точки относительно двух направлений и разделять пространство на области.
Координаты точки — три числа, определяющие её положение относительно координатных осей и записываемые в виде M(x; y; z). Первое число относится к Ox, второе — к Oy, третье — к Oz. Такая запись позволяет однозначно указать точку и восстановить её положение.
Сначала выбирают точку O и проводят через неё три прямые, каждая из которых перпендикулярна двум другим. На каждой прямой задают положительное направление и единицу измерения, превращая её в координатную ось. Общая точка необходима, чтобы отсчёт по всем направлениям начинался из одного места. Перпендикулярность делает направления независимыми: смещение по одной оси не подменяет смещение по другой.
У точки в пространстве нельзя определить положение только одним направлением: даже если известна координата по Ox, точка может смещаться и по двум другим осям. Чтобы найти все три числа, через точку мысленно проводят плоскости, перпендикулярные координатным осям. Эти плоскости пересекают оси в местах, соответствующих координатам точки. Так задаются её смещения x, y и z, и вместе они определяют положение однозначно.
Координаты измеряют со знаком: положительное значение означает положение в выбранном положительном направлении, отрицательное — в противоположном. Модуль координаты показывает, насколько далеко точка смещена вдоль соответствующей оси, но сам по себе не говорит, с какой стороны она находится. Например, точки со значениями x = 3 и x = −3 находятся по разные стороны от начала отсчёта. Нулевая координата означает, что смещения по этому направлению нет.
Каждая координатная плоскость состоит из двух осей, а третья ось перпендикулярна этой плоскости. Если одна координата равна нулю, точка лежит в плоскости, образованной двумя другими осями: например, z = 0 означает принадлежность Oxy. Три координатные плоскости пересекаются по координатным осям и делят пространство на области. Знаки координат помогают установить, в какой из этих областей расположена точка, а нулевая координата показывает, что она находится на границе.
Чтобы построить точку по координатам, сначала отмечают её смещение по одной оси, затем учитывают вторую и третью координаты, каждый раз соблюдая знак. На чертеже это можно представить как последовательное проведение плоскостей, параллельных координатным плоскостям, пока они не пересекутся в нужной точке. При чтении чертежа действуют наоборот: определяют положение точки относительно плоскостей и осей и считывают величины координат. Угол зрения на рисунок может скрывать длину отрезка, поэтому приоритет имеют подписанные значения и заданные единицы.
| Понятие | Обозначение | Как определяется | Роль в задаче |
|---|---|---|---|
| Начало координат | O | Общая точка пересечения трёх осей | Начало отсчёта координат |
| Координатные оси | Ox, Oy, Oz | Три взаимно перпендикулярные прямые с началом O | Задают направления измерения |
| Координатные плоскости | Oxy, Oyz, Ozx | Плоскости, проходящие через пары осей | Помогают определить положение точки и её границы |
| Координаты точки | M(x; y; z) | Три числа, заданные вдоль Ox, Oy и Oz | Однозначно задают положение точки |
| Положение точки относительно координатных плоскостей | x = 0, y = 0 или z = 0 | Определяется нулевой координатой | Показывает принадлежность плоскости или оси |
Пользуйся таблицей как последовательностью проверок: сначала найди начало и нужные оси, затем сопоставь координаты с их направлениями. Чтобы проверить принадлежность точки плоскости, найди соответствующую нулевую координату. Если нулевых координат две, проверь, на какой оси лежит точка.
Задача 1. Даны точки A(2; −1; 3), B(−2; 1; −3) и C(0; 4; −2). Укажи, какие из них лежат на координатных плоскостях или осях. Проверять принадлежность удобнее по нулевым координатам: в каждой координатной плоскости одна из трёх координат равна нулю. Для принадлежности оси нужны уже две нулевые координаты.
Ответ: C лежит в плоскости Oyz; ни одна из точек не лежит на координатной оси.
Задача 2. Построй точку M(−3; 2; 1) и опиши последовательность построения. Минус у первой координаты означает, что по Ox нужно идти против положительного направления, а две остальные координаты положительны. При построении важно не менять порядок координат: сначала x, затем y, затем z.
Ответ: точка M строится с координатами (−3; 2; 1), причём первое смещение направлено против положительного направления Ox, а второе и третье — по положительным направлениям Oy и Oz.
Задача 3. Точка P лежит в плоскости Oxy, расстояния от неё до плоскостей Oyz и Ozx равны 4 и 2, а координата z равна нулю. Найди возможные координаты P. Поскольку расстояние до координатной плоскости определяется модулем соответствующей координаты, расстояния задают величины, но не знаки x и y. Поэтому нужно учесть оба возможных направления для каждого ненулевого значения.
Ответ: P может иметь координаты (4; 2; 0), (4; −2; 0), (−4; 2; 0) или (−4; −2; 0).
Путают порядок координат. Запись (x; y; z) читают как три числа без привязки к осям, из-за чего координаты могут оказаться переставленными. Ошибку допускают, когда не проверяют обозначения Ox, Oy и Oz. Самопроверка: проговори, что первое число относится к Ox, второе к Oy, третье к Oz, и только потом отмечай точку.
Считают, что координатная плоскость задаётся одной осью. Так может показаться, если на чертеже заметна только одна линия, но плоскость проходит через пару осей и содержит их обе. Проверь название: Oxy означает плоскость через Ox и Oy, а не одну из этих осей. Если задана только ось, для плоскости не хватает второго направления.
Откладывают координаты только в положительных направлениях. Это происходит, если помнить числовое значение, но пропустить знак перед ним. Тогда точка окажется на противоположной стороне от начала координат. Перед построением проверь знак каждого числа: плюс ведёт по выбранному направлению, минус — против него.
Считают координату расстоянием до начала координат. Координата относится к конкретной оси, поэтому может быть отрицательной; расстояние же не бывает отрицательным и учитывает положение точки в пространстве целиком. Ошибку легко допустить, сравнивая координату с длиной отрезка от O до точки. Проверь смысл величины: если речь об одной оси, это координата, а если о длине между двумя точками — расстояние.
Для работы с координатами нужны аксиомы стереометрии и знания о взаимном расположении прямых и плоскостей, особенно о перпендикулярности. Они объясняют, как построить три независимых направления и координатные плоскости. Метод координат позволяет решать задачи о расстояниях, а позднее — составлять уравнения прямых и плоскостей. Он связан с координатами и векторами на плоскости: принцип тот же, только в пространстве добавляется третья ось и третья координата.
Почему для задания точки в пространстве нужны именно три координаты?
В пространстве у точки есть положение по трём независимым направлениям, соответствующим осям Ox, Oy и Oz. Одной или двух координат недостаточно, чтобы определить положение по всем трём направлениям. Поэтому точку задают тройкой чисел (x; y; z).
Как определить, на какой координатной плоскости лежит точка?
Посмотри, какая координата точки равна нулю. Если x = 0, точка лежит в Oyz; если y = 0 — в Ozx; если z = 0 — в Oxy. Если равны нулю две координаты, точка лежит на оставшейся оси.
Что означает нулевая координата?
Нулевая координата означает, что точка не смещена от соответствующей координатной плоскости. Например, z = 0 означает принадлежность плоскости Oxy. Если нулевые две координаты, точка находится на одной из координатных осей.
Как по координатам понять, в какой области пространства находится точка?
Сначала проверь знаки координат: они показывают, по какую сторону от начала O точка расположена вдоль каждой оси. Координатные плоскости делят пространство на области, и сочетание знаков x, y и z указывает, в какой из них находится точка. Если какая-либо координата равна нулю, точка расположена на разделяющей плоскости, а не внутри области.
Чем координата точки отличается от расстояния от точки до начала координат?
Координата показывает положение вдоль одной конкретной оси и может быть положительной, отрицательной или нулевой. Расстояние от точки до начала координат неотрицательно и учитывает положение сразу по всем трём направлениям. Поэтому координата обычно не равна расстоянию до начала.
6.1. Определение основных понятий
