§ 7. Перпендикулярность прямой и плоскости

Определения и обозначения

Перпендикулярные прямые — это пересекающиеся прямые, образующие прямой угол; записывают a ⟂ b. Иными словами, у прямых есть общая точка, а угол между ними равен 90°. Это понятие нужно, чтобы описывать прямые углы в пространственных фигурах.

Перпендикулярность прямой и плоскости означает, что прямая пересекает плоскость и перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения; обозначают a ⟂ α. Так определяется прямой угол между прямой и плоскостью: он равен 90°. Это понятие позволяет выделять в пространстве направление, перпендикулярное плоскости.

Основание перпендикуляра — точка, в которой прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает эту плоскость. Если из точки A проведён перпендикуляр AB к плоскости α, то B — основание перпендикуляра. Эта точка помогает указывать, откуда начинается отсчёт расстояния до плоскости.

Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости и не являющийся перпендикуляром к ней. Например, если A не лежит в α, то отрезок AC с концом C в α будет наклонной, когда AC не перпендикулярен α. Название отличает такой отрезок от перпендикуляра, проведённого из той же точки.

Как это устроено

В плоскости через одну точку можно провести много прямых, и прямой угол только с одной из них ещё не определяет положение прямой относительно всей плоскости. Например, прямая может быть перпендикулярна одной линии, но образовывать острый угол с другой линией той же плоскости. Поэтому в определении говорится о каждой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения. Именно это условие исключает случаи, когда прямой угол получился только в одном направлении.

Чтобы перейти от двух прямых к целой плоскости, используют признак: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Почему важно пересечение? Две пересекающиеся прямые задают в плоскости два разных направления, и перпендикулярность обоим закрепляет положение исходной прямой относительно плоскости. Условие о пересечении нельзя отбросить: без него две прямые могут быть параллельны, а значит, задавать лишь одно направление.

Таким образом, для доказательства не нужно проверять бесконечно много прямых, проходящих через точку пересечения с плоскостью. Достаточно выбрать в плоскости две пересекающиеся прямые и установить, что исходная прямая перпендикулярна каждой из них. После этого по признаку можно сделать вывод о перпендикулярности всей плоскости. Важно явно назвать обе прямые и убедиться, что они действительно пересекаются.

Определение перпендикулярности прямой и плоскости сразу даёт следствие: перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой этой плоскости, проходящей через его основание. Причина проста: такая прямая проходит через точку пересечения перпендикуляра с плоскостью, а именно все прямые через эту точку входят в определение. Поэтому для доказательства прямого угла с такой прямой достаточно уже знать, что прямая перпендикулярна плоскости.

Через заданную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную заданной плоскости. Если бы таких прямых было две, каждая должна была бы быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, а значит, их направления совпали бы; через одну точку в одном направлении проходит одна прямая. Из точки вне плоскости к ней проводят этот перпендикуляр и наклонные. Наклонная отличается тем, что не перпендикулярна плоскости, поэтому её нельзя подменять перпендикуляром в рассуждении.

Перпендикулярность прямой и плоскости: определения, признаки и следствия

Сначала найди в таблице нужное условие, затем проверь, что оно выполнено в задаче. Для применения признака отдельно проверь пересечение двух прямых и принадлежность обеих одной плоскости. Если условия соблюдены, вывод можно использовать дальше как доказанный факт.

Разбор задач

1. Применение признака

Условие: прямая a пересекает плоскость α в точке O и перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и c, лежащим в α. Требуется доказать a ⟂ α. Здесь важно не начинать с проверки всех прямых плоскости: данное условие уже соответствует признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

1. Установим, что b и c лежат в α и пересекаются. Это прямо указано в условии.
2. По условию a ⟂ b и a ⟂ c. Значит, прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости α.
3. Применим признак перпендикулярности прямой и плоскости. Получаем a ⟂ α.

Ответ: a ⟂ α. В этом рассуждении важно, что b и c не просто принадлежат плоскости, но и пересекаются; именно это позволяет применить признак.

2. Проверка условия о наклонной

Условие задачи сформулировано так: AB — перпендикуляр из A к α, AC — наклонная, B и C лежат в α, D лежит в α, BD ⟂ CD, а BC названо проекцией AC. Требуется доказать AC ⟂ CD. Однако из этих данных заключение не следует: перпендикулярность BD и CD не означает, что BC перпендикулярно CD. Поскольку AB ⟂ α, верно AB ⟂ CD, но этого недостаточно для перпендикулярности AC и CD.

1. Рассмотрим точки B, C, D в плоскости α. Условие BD ⟂ CD задаёт прямой угол в треугольнике BCD при D.
2. Из этого следует, что BC — гипотенуза треугольника BCD, а не катет, перпендикулярный CD. Следовательно, в общем случае BC не перпендикулярно CD.
3. Отрезок AC складывается по направлениям из AB и BC. Хотя AB перпендикулярен CD, составляющая BC может иметь направление вдоль CD, поэтому AC не обязана быть перпендикулярна CD.

Ответ: доказать утверждение по приведённым условиям нельзя; в условии, вероятно, пропущено или неверно указано дополнительное условие. Если вместо BD ⟂ CD дано BC ⟂ CD, тогда AB и BC обе перпендикулярны CD, и из разложения AC на эти направления следует AC ⟂ CD. Перед доказательством полезно проверить, действительно ли данные условия достаточны.

3. Прямоугольный параллелепипед

Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольный параллелепипед. Докажем утверждение AA₁ ⟂ плоскости ABCD: ребро AA₁ перпендикулярно AB и AD, а эти пересекающиеся прямые лежат в плоскости ABCD. Для второго утверждения из плана есть проблема: в произвольном прямоугольном параллелепипеде A₁C не обязана быть перпендикулярна BD₁. Проверим обе части по шагам, не предполагая недостающего условия.

1. В основании прямоугольника ABCD соседние стороны AB и AD перпендикулярны. Боковое ребро AA₁ перпендикулярно плоскости основания, поэтому AA₁ ⟂ AB и AA₁ ⟂ AD.
2. Прямые AB и AD пересекаются в A и лежат в плоскости ABCD. По признаку получаем AA₁ ⟂ плоскости ABCD.
3. Для проверки A₁C ⟂ BD₁ зададим размеры параллелепипеда: AB = x, AD = y, AA₁ = z. Направляющие векторы диагоналей можно записать как A₁C = (x, y, −z) и BD₁ = (−x, y, z).
4. Их скалярное произведение равно −x² + y² − z². Оно не всегда равно нулю, поэтому диагонали не обязательно перпендикулярны; например, при x = y = z оно равно −1 в единицах длины в квадрате.

Ответ: AA₁ ⟂ плоскости ABCD; утверждение A₁C ⟂ BD₁ в общем случае неверно и требует дополнительного условия на размеры. Такой вывод нельзя получить только из того, что параллелепипед прямоугольный и его соседние рёбра перпендикулярны.

Типичные ошибки

Ошибка 1 — считать достаточной перпендикулярность одной прямой плоскости. Ученик видит один прямой угол и переносит его на всю плоскость, хотя другие её направления не проверены. Это происходит из-за смешения перпендикулярности двух прямых и перпендикулярности прямой плоскости. Проверь себя: для признака указаны две пересекающиеся прямые плоскости?

Ошибка 2 — забывать, что прямые в признаке должны пересекаться и лежать в одной плоскости. Перпендикулярность двум произвольным прямым не даёт нужного вывода, если эти прямые параллельны или одна из них не принадлежит плоскости. Обычно условие о расположении воспринимают как очевидное и не проговаривают. Проверь, можно ли назвать их точку пересечения и плоскость, которой принадлежат обе.

Ошибка 3 — путать перпендикулярность прямой и плоскости с перпендикулярностью одной прямой из плоскости. Прямой угол с одной линией ещё не гарантирует прямой угол с любой другой линией плоскости. Такое смешение часто возникает, когда на рисунке видны только два направления. Проверь: доказана ли перпендикулярность к плоскости по определению или по признаку, а не только по одной линии?

Ошибка 4 — называть наклонную перпендикуляром. Любой отрезок от точки вне плоскости до точки на ней соединяет эти точки, но только один такой отрезок направлен под прямым углом к плоскости. Можно допустить ошибку, если ориентироваться только на внешний вид чертежа. Проверь, дан ли прямой угол или доказано ли условие перпендикулярности; без этого отрезок может быть наклонной.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия угла между прямыми, перпендикулярных прямых, пересечения и плоскости, а также аксиомы стереометрии и теоремы о взаимном расположении прямых и плоскостей. Они помогают обосновывать, где лежат прямые и почему можно применить признак. Позже перпендикулярность прямой и плоскости понадобится при изучении расстояний, угла между прямой и плоскостью, ортогонального проектирования и многогранников. В этих темах основание перпендикуляра помогает находить кратчайшее расстояние и строить проекции.

Что запомнить

• Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой плоскости через точку пересечения.
• Для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости достаточно найти две пересекающиеся прямые этой плоскости, перпендикулярные данной прямой.
• Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью называется основанием перпендикуляра.
• Через заданную точку можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной плоскости.
• Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой плоскости, проходящей через его основание.
• Наклонная к плоскости не является перпендикуляром к ней.