"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Перпендикулярность прямой и плоскости помогает находить расстояния в пространстве и доказывать свойства геометрических фигур. Прямая перпендикулярна плоскости, если она образует прямой угол с каждой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения. На практике достаточно проверить две пересекающиеся прямые. Перпендикуляр и наклонная с её проекцией образуют прямоугольный треугольник, поэтому длины можно вычислять по теореме Пифагора.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения. Записывают a ⟂ α, где a — прямая, α — плоскость. Определение задаёт точный смысл перпендикулярности в пространстве, но проверять все прямые плоскости неудобно. Для доказательств поэтому используют специальный признак.
Перпендикуляром к плоскости называют отрезок перпендикулярной ей прямой, один конец которого лежит в плоскости. Конец отрезка в плоскости — основание перпендикуляра. Длина этого отрезка задаёт расстояние от исходной точки до плоскости, поэтому перпендикуляр нужен, когда требуется найти кратчайшее расстояние.
Наклонная к плоскости — отрезок, который соединяет точку вне плоскости с точкой плоскости и не является перпендикуляром. Её конец в плоскости может находиться в стороне от основания перпендикуляра. Наклонные рассматривают вместе с перпендикуляром, чтобы сравнивать расстояния и вычислять длины.
Проверка перпендикулярности одной прямой плоскости недостаточна: в плоскости через точку пересечения можно провести много прямых с разными направлениями. Данная прямая может образовать прямой угол с одной из них, но не с остальными. Значит, условие для одной прямой не подтверждает определение перпендикулярности плоскости. Для надёжного вывода нужно проверить больше одного направления.
Признак упрощает эту проверку: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Пересечение важно, потому что через точку пересечения проходят обе прямые, и они задают два направления плоскости. Если прямые параллельны, они задают только одно направление, поэтому условие признака не выполнено. В доказательстве обязательно укажите и принадлежность прямых плоскости, и факт их пересечения.
Через заданную точку можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости; такая прямая только одна. Для существования достаточно построить в плоскости две пересекающиеся прямые и провести через точку прямую, перпендикулярную обеим: по признаку она перпендикулярна плоскости. Единственность связана с тем, что две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. Если они проходят через одну и ту же точку, то совпадают.
Пусть A — точка вне плоскости, AH — перпендикуляр к ней, а B — точка плоскости. Тогда AB — наклонная, а HB — её проекция на плоскость. Отрезок HB соединяет основание перпендикуляра H с концом наклонной B, поэтому целиком лежит в плоскости. Поскольку AH перпендикулярен плоскости, он перпендикулярен HB, и треугольник AHB прямоугольный.
В прямоугольном треугольнике AHB наклонная AB является гипотенузой, а AH и HB — катетами. Обозначим длину перпендикуляра через h, наклонной — через l, проекции — через p. По теореме Пифагора l² = h² + p². Если известны две длины, третью находят преобразованием этой формулы: h² = l² − p² или p² = l² − h².
| Объект или связь | Определение или свойство | Что важно учитывать |
|---|---|---|
| Перпендикуляр к плоскости | Отрезок перпендикулярной плоскости прямой с концом в плоскости. | Его длина равна расстоянию от точки до плоскости. |
| Наклонная к плоскости | Отрезок от точки вне плоскости до точки плоскости, не перпендикулярный ей. | В прямоугольном треугольнике это гипотенуза. |
| Проекция наклонной на плоскость | Отрезок от основания перпендикуляра до конца наклонной. | Оба его конца и весь отрезок лежат в плоскости. |
| Угол между наклонной и её проекцией | Угол между наклонной и проекцией, проведёнными из общей точки. | Это острый угол треугольника, кроме прямого угла. |
| Связь длин перпендикуляра, наклонной и проекции | l² = h² + p². | l — наклонная, h — перпендикуляр, p — проекция. |
В задачах сначала обозначьте основание перпендикуляра и конец наклонной, а затем установите, какой отрезок является её проекцией. После этого можно определить стороны прямоугольного треугольника и выбрать нужную форму теоремы Пифагора. Таблица помогает не перепутать пространственный отрезок с его проекцией, лежащей в плоскости.
Условие. Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости. Обоснуйте, что она перпендикулярна этой плоскости.
Ответ: прямая перпендикулярна плоскости по признаку.
Условие. Перпендикуляр к плоскости равен 5 см, а проекция наклонной на плоскость — 12 см. Найдите наклонную.
Ответ: 13 см.
Условие. Из точки вне плоскости проведены наклонные длиной 13 см и 15 см. Проекция первой равна 5 см. Найдите проекцию второй и сравните наклонные.
Ответ: проекция второй наклонной равна 9 см; вторая наклонная длиннее.
Считать прямую перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна одной прямой этой плоскости, — недостаточно. Ошибка возникает из-за переноса знакомого признака для двух прямых на случай «прямая — плоскость». Проверьте себя: в доказательстве должны быть два направления, то есть две прямые, удовлетворяющие признаку.
Иногда в качестве этих двух прямых выбирают прямые, которые не лежат в рассматриваемой плоскости или не пересекаются. Тогда условие признака не выполнено, хотя сами прямые могут быть перпендикулярны данной прямой. Перед применением признака назовите плоскость и проверьте оба условия: принадлежность прямых ей и их пересечение.
Наклонную путают с её проекцией, потому что отрезки связаны с одними и теми же точками. Но наклонная выходит из плоскости, а проекция целиком лежит в ней и начинается у основания перпендикуляра. Чтобы проверить обозначения, отметьте, какой отрезок соединяет внешнюю точку с плоскостью, а какой соединяет две точки плоскости.
В теореме Пифагора иногда принимают наклонную за катет. Это происходит, если не определить прямой угол и роли сторон до подстановки чисел. Перпендикуляр и проекция образуют прямой угол, поэтому наклонная, лежащая напротив него, является гипотенузой: её квадрат равен сумме квадратов катетов.
Для изучения темы нужно знать, что значит перпендикулярность прямых и как применять признак перпендикулярности прямых в пространстве. Теорема Пифагора и понятие проекции отрезка помогают находить расстояния и длины наклонных. Полученные представления понадобятся при изучении расстояний между геометрическими объектами, углов и других задач на перпендикулярность в пространстве.
Как доказать, что прямая перпендикулярна плоскости?
Найдите в плоскости две пересекающиеся прямые и докажите, что данная прямая перпендикулярна каждой из них. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости этого достаточно.
Почему для признака нужны именно две пересекающиеся прямые?
Одна прямая задаёт только одно направление в плоскости, поэтому перпендикулярность ей не гарантирует перпендикулярность всей плоскости. Пересекающиеся прямые задают два направления, и проверка перпендикулярности обеим позволяет применить признак.
Чем наклонная отличается от её проекции?
Наклонная соединяет точку вне плоскости с точкой на плоскости и не перпендикулярна ей. Её проекция лежит в плоскости: это отрезок от основания перпендикуляра до конца наклонной.
Как найти расстояние от точки до плоскости?
Из точки проведите перпендикуляр к плоскости. Расстояние от точки до плоскости равно длине этого перпендикуляра.
Как связаны длины наклонной, её проекции и перпендикуляра?
Они образуют прямоугольный треугольник: наклонная — гипотенуза, а перпендикуляр и проекция — катеты. Поэтому квадрат наклонной равен сумме квадратов катетов: l² = h² + p².
§ 1. Перпендикулярность прямой и плоскости
