§ 14. Перпендикулярность прямой и плоскости

Определения и обозначения

Прямая a перпендикулярна плоскости α, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения a с α. Это называют перпендикулярностью прямой и плоскости и обозначают a ⟂ α. Определение задаёт точный смысл такого положения в пространстве: речь идёт не об одной выбранной прямой, а обо всех прямых плоскости через точку пересечения.

Перпендикуляром к плоскости называют прямую, перпендикулярную этой плоскости. Такая прямая пересекает плоскость в одной точке, которую отмечают на чертеже. Понятие нужно, чтобы описывать направление прямой относительно всей плоскости, а не только относительно одной линии в ней.

Основание перпендикуляра — точка пересечения перпендикуляра с плоскостью. Если прямая SO перпендикулярна плоскости α в точке O, то O — её основание; букву ставят непосредственно у точки пересечения на чертеже. Сам перпендикуляр SO — прямая, а отрезок SO — только часть этой прямой между точками S и O.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости утверждает: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Признак нужен для доказательства: вместо проверки всех прямых плоскости достаточно проверить две подходящие. Условие их пересечения обязательно.

Как это устроено

Проверки только по одной прямой недостаточно, потому что плоскость содержит множество направлений. Прямая может быть перпендикулярна одной линии в плоскости, но располагаться наклонно к другим линиям через ту же точку. Поэтому определение требует перпендикулярности ко всем прямым плоскости, проходящим через точку пересечения.

Признак делает это требование удобным для доказательства. Две пересекающиеся прямые задают в плоскости два разных направления, и перпендикулярность к обеим позволяет заключить, что данная прямая перпендикулярна плоскости. Дальше по определению можно утверждать, что она перпендикулярна любой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения. В решении важно не просто назвать две линии, а доказать перпендикулярность к каждой.

Условие пересечения нельзя опускать: параллельные прямые направлены одинаково и не дают двух независимых направлений внутри плоскости. Поэтому по перпендикулярности к двум параллельным прямым признак применить нельзя. Перед доказательством проверьте, что выбранные прямые действительно встречаются, а не только лежат в одной плоскости.

На чертеже сначала отмечают плоскость и точку, в которой её пересекает перпендикулярная прямая, например O. Затем прямую записывают как SO, а её отношение к плоскости — как SO ⟂ α; точку O называют основанием. Не смешивайте прямую SO с отрезком SO: перпендикуляром к плоскости называется прямая, а отрезок лишь соединяет основание с выбранной точкой на ней.

В пространственной задаче удобно выбрать в нужной плоскости две пересекающиеся прямые, для которых перпендикулярность можно обосновать известными свойствами фигуры. Затем по очереди доказывают, что искомая прямая перпендикулярна каждой из них, и применяют признак. Если одна из линий не лежит в указанной плоскости или линии не пересекаются, доказательство пока не обосновано. После применения признака вывод о других прямых через основание делают уже по определению.

Определение и признак перпендикулярности прямой и плоскости

Используйте таблицу как проверочный список: сначала установите, что обе выбранные прямые принадлежат нужной плоскости и пересекаются. Затем проверьте перпендикулярность к каждой из них. Если условия выполнены, применяйте признак; если нет — подберите другую пару прямых или докажите недостающие свойства.

Разбор задач

Задача 1

Прямая a пересекает плоскость α в точке O и перпендикулярна двум прямым плоскости, пересекающимся в O. Докажем, что a ⟂ α. Данные условия похожи на признак, поэтому нужно убедиться, что обе выбранные прямые принадлежат α и действительно пересекаются. По условию они пересекаются в O, то есть в точке пересечения a с плоскостью.

1. Пусть прямые b и c лежат в α и пересекаются в O.
2. По условию a ⟂ b и a ⟂ c.
3. Применяем признак перпендикулярности прямой и плоскости: a ⟂ α.

Ответ: a ⟂ α.

Задача 2

В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в O, а SO ⟂ плоскости ABCD. Докажем, что SO перпендикулярна AC и BD. Обе диагонали лежат в плоскости ABCD и проходят через основание O. Значит, для каждой из них применимо определение перпендикуляра к плоскости.

1. Так как AC лежит в плоскости ABCD и проходит через O, из SO ⟂ (ABCD) следует SO ⟂ AC.
2. Так как BD тоже лежит в этой плоскости и проходит через O, по тому же определению SO ⟂ BD.

Ответ: SO перпендикулярна прямым AC и BD.

Задача 3

В условии говорится, что AM — медиана треугольника ABC и AM ⟂ BC, а SM, проходящая через M, перпендикулярна AB и BC. Требуется доказать SM ⟂ (ABC), а затем определить, какие прямые плоскости через M перпендикулярны SM. Однако в обычном невырожденном треугольнике M лежит на BC, но не на AB; кроме того, перпендикулярные прямые должны пересекаться. Значит, условие о перпендикулярности SM и AB несовместимо с тем, что SM проходит через M, если M не принадлежит AB.

1. Для признака нужны две пересекающиеся прямые плоскости, обе перпендикулярные SM.
2. Прямые AB и BC пересекаются между собой в B, но M обычно не лежит на AB, поэтому прямую SM через M нельзя считать перпендикулярной AB без дополнительного условия о пересечении.
3. Данных условий в указанном виде недостаточно для корректного применения признака и заявленного вывода. Если вместо AB дана прямая плоскости, проходящая через M и пересекающая BC в M, а SM перпендикулярна обеим, признак даёт SM ⟂ (ABC).
4. Тогда по определению SM перпендикулярна всем прямым плоскости ABC, проходящим через M.

Ответ: задача в записанном виде содержит несогласованное условие; при исправлении на две пересекающиеся в M прямые плоскости вывод следует из признака.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что перпендикулярность одной прямой плоскости доказывает перпендикулярность всей плоскости. Так думают, потому что выбранная линия на чертеже может выглядеть как достаточная проверка, но определение требует рассмотреть все прямые плоскости через точку пересечения. Проверьте себя: приведены ли две пересекающиеся прямые для признака или обоснована ли перпендикулярность ко всем прямым по определению?

Ошибка: применять признак к двум параллельным прямым. Параллельная пара задаёт только одно направление и не выполняет условие о пересечении. Перед выводом отметьте точку, где выбранные прямые встречаются; если такой точки нет, признак не подходит.

Ошибка: использовать прямую, которая не лежит в рассматриваемой плоскости. Её положение может быть удобным на рисунке, но это не делает её частью плоскости и не позволяет подставить её в условие признака. Уточните принадлежность обеих выбранных прямых именно нужной плоскости.

Ошибка: путать перпендикуляр с основанием или считать основанием отрезок. Это происходит из-за того, что на чертеже часто изображают только отрезок от точки до плоскости. Проверьте обозначения: перпендикуляр — прямая, а основание — точка её пересечения с плоскостью.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определения перпендикулярных и пересекающихся прямых, понятие плоскости и свойства углов между прямыми. В стереометрии это связывает известные факты о прямых с пространственными фигурами и помогает доказывать взаимное расположение их элементов. Поэтому перед применением признака важно уверенно определять, какие прямые лежат в одной плоскости и где они пересекаются.

Перпендикулярность прямой и плоскости используется при изучении расстояний в пространстве и ортогонального проектирования. Она также понадобится для теоремы о трёх перпендикулярах, которая устанавливает связи между перпендикулярами и наклонными в пространстве. Основание перпендикуляра при этом служит важной точкой отсчёта.

Что запомнить

• Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна всем прямым плоскости, проходящим через точку пересечения.
• Для применения признака достаточно проверить перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости.
• Обе прямые, выбранные для признака, должны лежать в рассматриваемой плоскости.
• Параллельная пара прямых не подходит для признака.
• Точка пересечения перпендикуляра с плоскостью называется основанием перпендикуляра.
• Перпендикулярность прямой и плоскости обозначают a ⟂ α.