"Геометрия. Базовый и углубленный уровни", Нелин Е.П., Лазарев В.А.
Перпендикуляр и наклонная — отрезки, соединяющие точку вне плоскости с точками этой плоскости. Перпендикуляр задаёт кратчайшее расстояние до плоскости, а наклонная вместе со своей проекцией образует прямоугольный треугольник. Поэтому длины этих отрезков связаны теоремой Пифагора. Теорема о трёх перпендикулярах помогает доказать, что прямая в плоскости перпендикулярна наклонной, и применяется в задачах о расстояниях и взаимном расположении прямых.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перпендикуляр к плоскости — отрезок, проведённый из точки вне плоскости к плоскости и перпендикулярный ей. Его конец на плоскости называют основанием перпендикуляра. Например, если точка A находится вне плоскости α, а AH ⟂ α, то H — основание перпендикуляра. Этот отрезок показывает расстояние от A до плоскости.
Наклонная к плоскости — отрезок, соединяющий точку вне плоскости с точкой плоскости, если он не перпендикулярен плоскости. Точку на плоскости называют основанием наклонной. Если из точки A проведён отрезок AB к плоскости α, но AB не перпендикулярен α, то AB — наклонная, а B — её основание. Такие отрезки позволяют сравнивать расстояния от одной точки до разных точек плоскости.
Проекция наклонной на плоскость — отрезок, соединяющий основание перпендикуляра с основанием наклонной. Если AH — перпендикуляр, а AB — наклонная, то проекцией AB служит HB. Она лежит в плоскости и вместе с AH и AB образует треугольник. Этот отрезок нужен, чтобы связать длину наклонной с расстоянием от точки до плоскости.
Теорема о трёх перпендикулярах — утверждение о перпендикулярности прямой в плоскости и наклонной. Если прямая в плоскости проходит через основание наклонной и перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. Обратное утверждение также верно: перпендикулярность наклонной такой прямой влечёт перпендикулярность её проекции. Теорема помогает доказывать перпендикулярность прямых в пространстве.
Чтобы провести перпендикуляр из внешней точки A к плоскости, через A проводят прямую, перпендикулярную этой плоскости; точку её пересечения с плоскостью обозначают H. Затем из A можно провести отрезок AB к другой точке B плоскости, не совпадающей с H: если он не перпендикулярен плоскости, это наклонная. Её основание — B, а отрезок HB называют проекцией AB. Проекция получается именно между основаниями, потому что основание перпендикуляра показывает, куда «опускается» точка A на плоскость.
Расстоянием от точки до плоскости считают длину перпендикуляра, потому что он короче любого другого отрезка от этой точки к плоскости. В треугольнике AHB угол при H прямой: AH перпендикулярен всей плоскости, а HB лежит в ней. Поэтому AB, соединяющий A с B, — гипотенуза, а AH и HB — катеты. Отсюда следует формула AB² = AH² + HB², то есть квадрат наклонной равен сумме квадратов перпендикуляра и проекции.
Если из одной точки проведены две наклонные к одной плоскости, у обеих треугольников общий катет AH. По теореме Пифагора квадрат каждой наклонной равен AH² плюс квадрат её проекции. Поэтому большей проекции соответствует больший квадрат наклонной, а значит, и большая длина наклонной. Верно и обратное сравнение: из двух таких наклонных большая имеет большую проекцию. Сравнивать их можно по проекциям именно потому, что перпендикуляр у них один и тот же.
Теорема о трёх перпендикулярах рассматривает наклонную AB, её проекцию HB и прямую в плоскости, проходящую через B. Если эта прямая перпендикулярна HB, то по теореме она перпендикулярна AB: условие о проекции позволяет заключить перпендикулярность наклонной. Обратное утверждение работает в той же конфигурации: если прямая в плоскости через B перпендикулярна AB, то она перпендикулярна HB. Для обоих выводов важно, чтобы прямая действительно лежала в плоскости и проходила через основание наклонной, то есть точку B.
Название теоремы напоминает о трёх отрезках, связанных в доказательстве: перпендикуляре к плоскости, проекции наклонной и самой наклонной. На практике сначала находят проекцию и проверяют, что она перпендикулярна нужной прямой. Затем применяют теорему, чтобы получить перпендикулярность наклонной, или используют обратное утверждение. Такой порядок помогает не перепутать условие и вывод.
| Объект или связь | Что характеризует | Основное свойство |
|---|---|---|
| Перпендикуляр и основание перпендикуляра | Кратчайший отрезок от точки до плоскости и точку его пересечения с плоскостью | Перпендикуляр образует прямой угол с плоскостью |
| Наклонная и её основание | Отрезок из внешней точки к точке плоскости, не перпендикулярный плоскости | Длина наклонной больше длины перпендикуляра |
| Проекция наклонной | Расположение оснований перпендикуляра и наклонной | Соединяет эти два основания и лежит в плоскости |
| Связь длин перпендикуляра, наклонной и проекции | Длины сторон прямоугольного треугольника | Квадрат наклонной равен сумме квадратов перпендикуляра и проекции |
| Сравнение наклонных по их проекциям | Относительные длины наклонных из одной точки | При общем перпендикуляре большая проекция соответствует большей наклонной |
| Теорема о трёх перпендикулярах и обратная теорема | Перпендикулярность прямой в плоскости наклонной и её проекции | Перпендикулярность прямой проекции равносильна её перпендикулярности наклонной при нужных условиях |
Пользуйтесь таблицей как кратким маршрутом решения: сначала определите, какие отрезки даны и где расположены их основания. Для вычислений выберите строку о прямоугольном треугольнике, а для доказательств перпендикулярности — последнюю строку. Условия теоремы проверяйте по расположению прямой и проекции, а не только по рисунку.
Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 5 см и наклонная, проекция которой равна 12 см. Найдите длину наклонной. Обозначим длину наклонной через l, а длину перпендикуляра через h. Проекция и перпендикуляр являются катетами прямоугольного треугольника, поэтому искомая наклонная — его гипотенуза.
Ответ: 13 см. Перед извлечением корня проверьте, что искомая наклонная действительно является гипотенузой; она должна быть длиннее каждого катета. Полученное значение этому условию удовлетворяет.
Из точки к плоскости проведены две наклонные с проекциями 6 см и 8 см. Найдите разность их длин, если перпендикуляр равен 5 см. Общий перпендикуляр означает, что можно построить два прямоугольных треугольника с одинаковым катетом. Найдём длину каждой наклонной отдельно, а затем вычтем меньшую из большей.
Ответ: √89 − √61 см, приблизительно 1,73 см. Нельзя вычесть проекции и считать, что получена разность наклонных: теорема Пифагора связывает длины не линейно. Поэтому сначала вычисляют обе наклонные, а потом находят их разность.
В плоскости через основание наклонной проведена прямая, перпендикулярная её проекции. Докажите, что эта прямая перпендикулярна наклонной. Пусть A — точка вне плоскости, H — основание перпендикуляра, а B — основание наклонной AB. Тогда HB — проекция наклонной, и данная прямая проходит через B и лежит в плоскости.
Следовательно, m ⟂ AB, что и требовалось доказать. Здесь теорему можно применить, поскольку установлены оба необходимых условия: прямая лежит в плоскости, а её точка пересечения с проекцией — основание наклонной B. Если не проверить эти условия, вывод из одного только вида чертежа не будет обоснован.
Проекцией наклонной иногда называют отрезок от внешней точки до основания наклонной. Это исходная наклонная, а не её проекция: проекция идёт от основания перпендикуляра до основания наклонной. Для проверки обозначьте оба основания и убедитесь, что концы проекции находятся именно в них.
Перпендикуляр и наклонную могут считать одним видом отрезка, потому что оба соединяют точку вне плоскости с точкой на плоскости. Различие задаётся углом: перпендикуляр образует прямой угол с плоскостью, наклонная — нет. Проверьте, задана ли перпендикулярность; если да, отрезок нельзя называть наклонной.
Теорему о трёх перпендикулярах применяют, не проверив расположение прямой и проекции. Так бывает, когда ученик полагается на чертёж и не замечает, что прямая может не лежать в плоскости или не проходить через нужное основание. Перед применением теоремы укажите плоскость, основание наклонной и точку, в которой прямая пересекает проекцию.
Длину наклонной иногда сравнивают с другой только по внешнему виду рисунка. Но чертёж может быть выполнен неточно, поэтому такое сравнение не доказывает результат. Сравните проекции при общем перпендикуляре или вычислите длины по теореме Пифагора; после этого укажите, почему одна длина больше другой.
Для работы с перпендикуляром и наклонной нужны определения перпендикулярности прямых и прямой и плоскости, а также теорема Пифагора. Эти знания позволяют распознать прямоугольный треугольник и найти неизвестную длину. Далее тема помогает доказывать перпендикулярность прямых в пространстве и решать задачи на расстояния и углы в стереометрии. Теорему о трёх перпендикулярах применяют, в частности, в задачах о расстоянии от точки до прямой и о взаимном расположении прямых и плоскостей.
Чем наклонная отличается от перпендикуляра к плоскости?
Перпендикуляр образует прямой угол с плоскостью, а наклонная соединяет внешнюю точку с точкой плоскости, но не перпендикулярна ей. Поэтому у этих отрезков разные основания и свойства.
Как построить проекцию наклонной на плоскость?
Сначала опустите из внешней точки перпендикуляр на плоскость и отметьте его основание. Затем соедините это основание с основанием наклонной — полученный отрезок и будет проекцией.
Почему расстояние от точки до плоскости измеряют по перпендикуляру?
Перпендикуляр — самый короткий отрезок от точки до плоскости. Любой другой отрезок, соединяющий точку с точкой плоскости, длиннее.
Как найти длину наклонной, если известны перпендикуляр и её проекция?
Перпендикуляр, наклонная и её проекция образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора длина наклонной равна √(h² + p²), где h — длина перпендикуляра, а p — длина проекции.
Когда можно применить теорему о трёх перпендикулярах?
Когда наклонная проведена к плоскости, а рассматриваемая прямая лежит в этой плоскости и проходит через основание наклонной. Если эта прямая перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.
§ 15. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах
