§ 13. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярные прямые

Определения и обозначения

Угол между двумя пересекающимися прямыми — меньший из двух углов, образованных прямыми; его величина не превышает 90°. Больший угол не выбирают, потому что он описывает то же расположение прямых с другой стороны, но не является наименьшим углом между их направлениями. Это определение позволяет сравнивать прямые одним и тем же способом.

Угол между скрещивающимися прямыми — угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным и проведёнными через одну точку. Скрещивающиеся прямые сами не встречаются, поэтому непосредственно угол у них не образуется. Определение даёт способ найти угол по двум удобным прямым.

Перпендикулярные прямые — прямые, угол между которыми равен 90°. Они могут пересекаться или быть скрещивающимися, если угол для последних найден через параллельные представители. Это понятие помогает распознавать прямые направления, образующие прямой угол.

Скрещивающиеся прямые — прямые в пространстве, которые не пересекаются и не являются параллельными. Их нельзя расположить в одной плоскости: при продолжении они всё равно не встретятся. Это отличает их от параллельных прямых и подсказывает, что угол нужно определять особым способом.

Как это устроено

Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла: вертикальные углы равны, а соседние в сумме дают 180°. Поэтому среди этих величин одна не больше другой, и именно меньшую принимают за угол между прямыми. Если один угол тупой, то искомый — смежный с ним, то есть 180° минус данный угол. Так угол между прямыми по определению оказывается в пределах от 0° до 90°.

У скрещивающихся прямых общей точки нет, поэтому нельзя взять лучи с общим началом, как при обычном измерении угла. Через выбранную точку проводят по одной прямой, параллельной каждой из исходных; новые прямые пересекутся в этой точке. Угол между ними и называют углом между скрещивающимися прямыми. Точку выбирают там, где удобно выполнить построение.

Почему место построения не меняет ответ? При переносе параллельно самой себе направление прямой сохраняется, а угол определяется именно взаимным направлением двух прямых. Пересекающиеся представители можно мысленно перенести в одну точку, не поворачивая. Значит, при любом выборе точки получатся равные углы, и результат не зависит от построения.

Параллельные прямые направлены одинаково, поэтому их угол считают нулевым. Формально можно через точку одной из прямых провести прямую, параллельную другой: она совпадёт с первой, а совпадающие направления не образуют поворота. Это частный случай общего понимания угла между прямыми как угла между их направлениями.

Чтобы установить перпендикулярность в пространстве, нужно показать, что угол между прямыми равен 90°. Для скрещивающихся прямых проверяют угол между пересекающимися параллельными представителями, а не ищут у исходных общую точку. Поэтому скрещивающиеся прямые тоже могут быть перпендикулярными: их направления образуют прямой угол, хотя сами прямые не пересекаются.

Угол между прямыми в пространстве

Сначала определите, как расположены прямые, а затем выберите способ определения угла из второго столбца. Последний столбец помогает проверить вывод о параллельности или перпендикулярности. Для скрещивающихся прямых обязательно обоснуйте, какие именно параллельные представители вы построили.

Разбор задач

Задача 1. Две пересекающиеся прямые образуют один из углов 128°. Найти угол между ними и определить, перпендикулярны ли они. Число 128° относится к тупому углу, а по определению выбирают меньший из двух смежных углов. Поэтому нужно найти смежный угол и сравнить его с 90°.

1. Смежные углы в сумме дают 180°, значит, второй угол равен 180° − 128° = 52°.
2. Угол между прямыми — меньший из этих углов, то есть 52°.
3. Так как 52° не равно 90°, прямые не перпендикулярны.

Ответ: 52°, прямые не перпендикулярны. Проверка показывает, почему нельзя просто принять за ответ данный тупой угол: он больше 90°.

Задача 2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти угол между AB и C₁D₁. Прямые находятся на разных гранях, поэтому сначала стоит установить их направления. В квадратном основании AB ∥ CD, а соответствующие рёбра верхней грани параллельны рёбрам основания: C₁D₁ ∥ CD. Следовательно, обе заданные прямые параллельны одной прямой.

1. Из AB ∥ CD и C₁D₁ ∥ CD следует, что AB ∥ C₁D₁.
2. Угол между параллельными прямыми равен 0°.

Ответ: 0°. Здесь нет необходимости искать точку пересечения исходных прямых: совпадение направления уже определяет угол.

Задача 3. В прямоугольном параллелепипеде найти угол между скрещивающимися диагональю основания AC и боковым ребром BB₁. Через A проводим прямую, параллельную BB₁. В прямоугольном параллелепипеде она совпадает с ребром AA₁, так как боковые рёбра параллельны. Теперь искомый угол равен углу между AC и AA₁.

1. Диагональ AC лежит в плоскости основания, а AA₁ перпендикулярно этой плоскости.
2. Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения; здесь это точка A, а такая прямая — AC.
3. Значит, угол между AC и AA₁ равен 90°, а он равен углу между исходными прямыми.

Ответ: 90°. Исходные прямые скрещиваются, но по определению угла между ними это не мешает признать их перпендикулярными.

Типичные ошибки

Ошибка: считать углом между пересекающимися прямыми любой образованный угол. Так поступают, когда замечают только заданную на чертеже величину и забывают о выборе меньшего угла. Если угол тупой, найдите смежный: он равен 180° минус данный. Проверка проста: итог не должен превышать 90°.

Ошибка: утверждать, что у скрещивающихся прямых нет угла. Их действительно нельзя измерить как угол двух лучей с общей вершиной, и это часто сбивает с толку. Но угол определяют через пересекающиеся параллельные представители. Проверьте себя: указаны ли две такие прямые и общая точка их пересечения?

Ошибка: путать перпендикулярность прямых с перпендикулярностью прямой и плоскости. Эти понятия связаны с разными объектами: в одном случае рассматривают две прямые, в другом — прямую и плоскость. Путаница возникает, когда используют свойство прямой, перпендикулярной плоскости, не называя саму плоскость. Проверяйте, какой именно угол требуется найти и между какими объектами.

Ошибка: объявлять прямые перпендикулярными только по рисунку. Изображение может быть условным: углы и длины на нём не обязательно переданы точно. Чтобы обосновать вывод, докажите, что угол между прямыми равен 90°, а для скрещивающихся укажите их пересекающиеся параллельные представители. Если такого обоснования нет, перпендикулярность пока не установлена.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, какие прямые в пространстве пересекаются, параллельны или скрещиваются, и уметь применять свойства параллельных прямых. Также пригодятся признаки перпендикулярности. Понятие угла между прямыми помогает изучать углы между прямой и плоскостью, а затем и между плоскостями; оно используется при построении сечений многогранников. В задачах на куб, призму и параллелепипед важно замечать параллельные рёбра и применять координатный метод в пространстве.

Что запомнить

• Угол между прямыми — меньший из углов между ними или их пересекающимися параллельными представителями.
• Угол между прямыми лежит в пределах от 0° до 90°.
• Угол между параллельными прямыми равен 0°.
• Скрещивающиеся прямые могут иметь определённый угол между собой.
• Перпендикулярные прямые образуют угол 90°.
• Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми, заменяют их пересекающимися прямыми, параллельными исходным.
• Величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбранной точки построения.