Раздел 4. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

Определения и обозначения

Перпендикулярными называют прямые, угол между которыми равен 90°. Если прямые скрещиваются и не имеют общей точки, через точку одной проводят прямую, параллельную другой, и измеряют угол между пересекающимися прямыми. Так можно говорить о перпендикулярности любых прямых в пространстве, а не только пересекающихся.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения. Обозначение a ⟂ α означает, что прямая a перпендикулярна плоскости α. Это понятие помогает установить, что прямая образует прямой угол с любым направлением в плоскости.

Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Ортогональная проекция получается, если опустить перпендикуляры из точек прямой на плоскость. Этот угол показывает, насколько прямая наклонена к плоскости: при перпендикулярности угол равен 90°.

Перпендикулярными называют плоскости, угол между которыми равен 90°. Запись α ⟂ β означает, что плоскости α и β перпендикулярны. Такое определение позволяет искать взаимное расположение плоскостей через угол, а на практике — использовать удобный признак с прямой, перпендикулярной одной из них.

Как это устроено

Скрещивающиеся прямые не пересекаются, поэтому непосредственно измерить угол между ними нельзя. Но параллельный перенос сохраняет направление прямой и величину угла. Если заменить одну прямую параллельной ей прямой, проходящей через точку другой, получится пересекающаяся пара, угол которой и принимают за угол исходных прямых. Поэтому проверка на 90° не зависит от выбора подходящей точки.

Чтобы проверить перпендикулярность прямой плоскости, достаточно найти в плоскости две пересекающиеся прямые и проверить прямой угол с каждой из них. Эти прямые задают два разных направления плоскости; если прямая перпендикулярна обоим, то она перпендикулярна любой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения. Одной прямой недостаточно: перпендикулярность к ней ничего не говорит о другом направлении плоскости.

Прямая, перпендикулярная плоскости, образует с ней угол 90°, тогда как прямая, параллельная плоскости, имеет с ней угол 0°. Чтобы определить угол в остальных случаях, сравнивают прямую с её ортогональной проекцией. Проекция показывает направление движения внутри плоскости, поэтому угол с ней точно описывает наклон прямой к плоскости. У перпендикуляра все точки проецируются в одну точку — основание перпендикуляра.

Пусть из точки вне плоскости проведена наклонная, а её проекция лежит в плоскости. Теорема о трёх перпендикулярах утверждает: прямая плоскости, проведённая через конец проекции и перпендикулярная ей, перпендикулярна и наклонной. Обратное утверждение тоже верно: если прямая плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна её проекции. Теорема связывает пространственную наклонную с отрезком, который можно изучать средствами планиметрии.

Две плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Это позволяет заменить поиск угла между плоскостями более простой проверкой: найти подходящую прямую и применить признак перпендикулярности прямой и плоскости. В доказательстве нужно подтвердить оба условия — принадлежность прямой первой плоскости и её перпендикулярность второй.

Перпендикулярность в пространстве: понятия и признаки

В таблице собраны определения и способы проверки, поэтому сначала выбери нужное понятие, а затем ориентируйся на последний столбец. В доказательстве важно не подменять признак определением: например, для прямой и плоскости требуются именно две пересекающиеся прямые.

Разбор задач

Рёбра прямоугольного параллелепипеда

Пусть ABCD A₁B₁C₁D₁ — прямоугольный параллелепипед, где ABCD и A₁B₁C₁D₁ — основания. Нужно указать перпендикулярные рёбра, включая скрещивающиеся. В основании AB ⟂ BC, а боковое ребро AA₁ перпендикулярно плоскости основания, поэтому оно перпендикулярно и AB.

1. По свойству прямоугольника AB ⟂ BC, поскольку эти рёбра пересекаются в точке B.
2. Так как AA₁ ⟂ плоскости ABCD, то AA₁ ⟂ AB и AA₁ ⟂ BC.
3. Рёбра AB и B₁C₁ скрещиваются. Через B проведём прямую, параллельную B₁C₁; ею будет BC, и AB ⟂ BC.
4. Значит, угол между AB и B₁C₁ равен 90°. Аналогично можно проверить другие пары рёбер, заменяя скрещивающееся ребро параллельным ему ребром, которое пересекает первое.

Ответ: среди перпендикулярных пар есть AB и BC, AA₁ и AB, AA₁ и BC, а также скрещивающиеся AB и B₁C₁. В последней паре прямой угол устанавливают по параллельной замене.

Ребро пирамиды и плоскость основания

Пусть ребро SA пирамиды перпендикулярно двум пересекающимся прямым основания, проходящим через A. Требуется доказать, что SA перпендикулярно плоскости основания. Здесь не нужно проверять все прямые основания по отдельности: условия уже совпадают с признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

1. Обозначим плоскость основания через α, а пересекающиеся прямые в ней через l и m. По условию l и m проходят через A, причём SA ⟂ l и SA ⟂ m.
2. Прямые l и m пересекаются, поэтому задают плоскость α. Прямая SA перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
3. Применяем признак перпендикулярности прямой и плоскости: SA ⟂ α.

Ответ: ребро SA перпендикулярно плоскости основания. В доказательстве важно, что выбранные прямые основания пересекаются в точке A, а не просто являются двумя произвольными прямыми плоскости.

Наклонная и её проекция

Точка D лежит в плоскости α, AD ⟂ α, а AB — наклонная к плоскости с концом B в α. Следовательно, DB — ортогональная проекция наклонной AB. Если BC лежит в α и BC ⟂ DB, нужно доказать, что BC ⟂ AB.

1. Так как AD перпендикулярна плоскости, D — основание перпендикуляра из A на α.
2. Точка B принадлежит α, поэтому проекция отрезка AB соединяет D с B, то есть это DB.
3. По условию BC перпендикулярна проекции DB в точке B. Применяем теорему о трёх перпендикулярах: BC перпендикулярна наклонной AB.

Ответ: BC ⟂ AB. Перед применением теоремы мы отдельно установили, что DB — проекция наклонной AB, а не приняли это без доказательства.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что перпендикулярные прямые обязаны пересекаться. Так думают, перенося на пространство привычную картину из плоскости, но скрещивающиеся прямые тоже могут образовывать прямой угол. Для проверки найди параллельную замену одной из прямых и измерь угол с ней.

Ошибка — заключать, что прямая перпендикулярна плоскости, потому что она перпендикулярна одной прямой в этой плоскости. Одна прямая показывает только одно направление, поэтому вывод может оказаться неверным. Проверь, есть ли две пересекающиеся прямые плоскости, перпендикулярные данной прямой.

Ошибка — брать угол между прямой и перпендикуляром к плоскости вместо угла между прямой и плоскостью. Перпендикуляр задаёт нормальное направление, а угол с плоскостью измеряют через проекцию прямой на неё. Чтобы проверить себя, сначала построй именно ортогональную проекцию и только потом отмечай угол.

Ошибка — применять теорему о трёх перпендикулярах, не установив проекцию наклонной. Ученик может принять за проекцию любой отрезок плоскости, который кажется подходящим. Проверь, что один конец наклонной — вне плоскости, из него опущен перпендикуляр, а проекция соединяет основание этого перпендикуляра с концом наклонной в плоскости.

Связь с другими темами

Для изучения перпендикулярности нужны знания о взаимном расположении прямых и плоскостей, параллельности, углах и ортогональной проекции. Эти понятия применяются при нахождении расстояний и углов в пространстве, построении сечений и решении задач о многогранниках. Далее они помогают исследовать расстояния между фигурами и углы между плоскостями.

Что запомнить

• Угол между скрещивающимися прямыми находят, заменяя одну прямую параллельной ей пересекающейся прямой.
• Чтобы доказать, что прямая перпендикулярна плоскости, достаточно доказать её перпендикулярность двум пересекающимся прямым этой плоскости.
• Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её ортогональной проекцией.
• Проекция перпендикуляра к плоскости на эту плоскость — точка.
• Теорема о трёх перпендикулярах связывает наклонную, её проекцию и прямую плоскости.
• Плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости.