"Геометрия. Базовый и углубленный уровни", Нелин Е.П., Лазарев В.А.
Сечение многогранника — многоугольник, который получается при пересечении его плоскости с многогранником. Его строят, чтобы исследовать форму фигуры, находить площади и решать пространственные задачи. Главное — не соединять заданные точки наугад: каждая сторона сечения должна лежать в грани, а его вершины — на рёбрах. Для построения используют следы плоскости, последовательный поиск точек и свойства параллельных граней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Секущая плоскость — плоскость, пересекающая многогранник. Именно она задаёт искомую фигуру: изменится положение плоскости — изменится и сечение. При построении важно проследить, где она проходит через грани и рёбра.
Сечение многогранника — многоугольник, состоящий из точек и отрезков пересечения секущей плоскости с гранями многогранника. Проще говоря, это часть плоскости, оказавшаяся внутри многогранника, вместе с её границей. По этому многоугольнику изучают форму пересечения и, например, находят его площадь.
След плоскости — прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани или другую вспомогательную плоскость. След помогает продолжить построение, когда нужной точки на грани пока нет. Он может выходить за границы самой грани, но в сечение входят только его части внутри многогранника.
Метод внутренних точек — способ строить сечение, последовательно находя точки секущей плоскости внутри граней и соединяя точки, лежащие на одной грани. Он полезен, когда заданы точки на рёбрах и нужно понять, как плоскость проходит через соседние грани. Так построение становится цепочкой небольших шагов, а не набором случайных соединений.
Граница сечения состоит из отрезков, потому что каждая грань многогранника плоская. Пересечение двух плоскостей — прямая, а часть этой прямой, попавшая внутрь грани, ограничена её рёбрами и потому является отрезком; если плоскости не пересекаются внутри грани, пересечения нет. Собирая такие отрезки на соседних гранях, получают границу всего сечения.
Вершина сечения возникает там, где секущая плоскость пересекает ребро многогранника. Ребро принадлежит двум соседним граням, поэтому в месте выхода сечения из одной грани и перехода в другую появляется общая точка их отрезков. Точка пересечения вспомогательных линий внутри грани сама по себе не становится вершиной: для вершины она должна лежать на ребре многогранника.
Метод следов начинают с поиска пересечений секущей плоскости с плоскостями граней. Если на одной грани известны две точки секущей плоскости, через них проводят след этой плоскости и определяют, где он пересекает рёбра грани. Дальше используют полученную точку на соседней грани, ведь общее ребро принадлежит обеим граням. Так следы связывают отдельные участки сечения в одну линию.
Метод внутренних точек опирается на уже известные точки сечения внутри граней или на рёбрах. Если две такие точки принадлежат одной грани, прямая через них задаёт направление стороны сечения на этой грани; её пересечения с рёбрами помогают найти следующую точку. Когда в грани известна лишь одна точка, используют вспомогательную прямую или плоскость и свойства параллельности, чтобы получить вторую. Построение продолжают, переходя через общие рёбра к соседним граням.
Соединять точки можно только в пределах одной грани, потому что именно там соответствующий отрезок является частью пересечения плоскости с многогранником. Отрезок между точками на разных гранях может пройти сквозь внутренность фигуры или снаружи неё и не совпасть с её границей. Проверяя результат, проследите каждый переход по граням: стороны должны лежать на гранях, вершины — на рёбрах, а последняя сторона должна замкнуть многоугольник без лишних участков.
Сравнивайте исходные данные с первым столбцом и выбирайте подходящий способ. Если построение требует нескольких приёмов, сочетайте их: таблица описывает основные действия, но методы не исключают друг друга. Проверка в последнем столбце помогает заметить ошибки до того, как построение будет закончено.
| Метод | Исходные данные | Основное действие | Когда удобен | Проверка результата |
|---|---|---|---|---|
| Метод следов | Точки секущей плоскости на рёбрах или её положение относительно граней | Построить следы секущей плоскости на плоскостях граней и найти их общие точки | Когда известны пересечения с несколькими гранями или требуется использовать продолжения граней | Каждая сторона сечения лежит в соответствующей грани |
| Метод внутренних точек | Несколько точек сечения внутри граней или на рёбрах | Последовательно соединять точки, лежащие на одной грани, и находить недостающие точки | Когда секущая плоскость задана точками на рёбрах | Все вершины лежат на рёбрах, а стороны не выходят за грани |
| Метод вспомогательных сечений и параллельных прямых | Параллельность рёбер, граней или линий в заданной фигуре | Проводить вспомогательные линии или плоскости по известным параллельностям | В призмах, параллелепипедах и других фигурах с параллельными гранями | Сохранены параллельность и отношения, заданные свойствами многогранника |
| Комбинированный метод | Сложная конфигурация, в которой одного способа недостаточно | Сочетать следы, внутренние точки и вспомогательные построения | При построении сечения пирамиды, призмы или составного многогранника | Получен замкнутый многоугольник сечения без лишних линий |
Задача 1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ построить сечение плоскостью через M на AB, N на AD и P на BB₁. Плоскость задана тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Поскольку конкретное положение M, N и P не уточнено, построение удобно описывать через пересечения линий с рёбрами; их расположение зависит от самих точек.
Ответ: искомое сечение — замкнутый многоугольник из полученных точек на рёбрах. Его конкретные дополнительные вершины определяются положением M, N и P; построение проверяют по граням куба.
Задача 2. В треугольной призме построить сечение через две точки на рёбрах боковой поверхности и точку на противоположном основании. В условии не указаны обозначения призмы и точные рёбра, поэтому числовых или однозначно именованных вершин здесь нет. Направления параллельных боковых рёбер позволяют перенести построение с одной грани на другую.
Ответ: сечение строят последовательным переходом по граням, используя заданные точки и параллельность призмы. На каждой грани оставляют только отрезок внутри её границ.
Задача 3. В четырёхугольной пирамиде построить сечение плоскостью через точки на трёх боковых рёбрах и точку на основании. Плоскость пересекает несколько боковых граней, а заданная точка основания помогает определить её положение относительно основания. Для недостающих пересечений удобно совместить метод следов со вспомогательной плоскостью.
Ответ: сечение представляет собой замкнутый многоугольник, стороны которого лежат на боковых гранях или основании. Точные дополнительные вершины зависят от положения заданных точек.
Соединяют точки, не лежащие на одной грани. На плоском рисунке пространственная фигура кажется плоской, поэтому легко принять любые две видимые точки за концы стороны. Проверьте принадлежность точек одной конкретной грани: если такой грани нет, отрезок не является стороной сечения.
Продолжают сторону за границы грани. Это происходит, когда используют прямую пересечения плоскостей, но забывают, что сечением служит только часть многогранника. Проверьте, где прямая входит в грань и выходит из неё, и оставьте только отрезок внутри границы грани.
Считают вершиной пересечение вспомогательных линий внутри фигуры. Такие линии нужны для построения, поэтому их пересечение может казаться значимой точкой. Однако вершина сечения должна лежать на ребре многогранника; проверьте это по чертежу, прежде чем включать точку в многоугольник.
Не проверяют замкнутость и порядок вершин. Тогда сторона может перескочить через грань, а часть сечения окажется пропущена или продублирована. Обойдите многогранник по соседним граням и проследите, чтобы каждая сторона соединяла соседние вершины, а последняя возвращала к первой без лишних пересечений.
Для построения сечений нужны знания о взаимном расположении прямых и плоскостей, признаках параллельности и свойствах граней, рёбер и диагоналей многогранника. Особенно часто используются пересечение двух плоскостей и теоремы о параллельных прямых и плоскостях: они помогают проводить следы и переносить направления. Позже сечения понадобятся при изучении их площадей и объёмов, координатного метода и решении пространственных задач.
Почему нельзя просто соединить все заданные точки отрезками?
Заданные точки могут лежать на разных гранях, поэтому соединяющий их отрезок не обязательно будет частью сечения. Сторону проводят только между точками, которые лежат в одной грани, и только внутри этой грани.
Как понять, какие точки относятся к одной грани?
Посмотрите, лежат ли точки на рёбрах или внутри одной и той же грани многогранника. Если да, через них можно провести прямую пересечения секущей плоскости с плоскостью этой грани. Полученный отрезок сечения ограничивают границами самой грани.
Чем метод следов отличается от метода внутренних точек?
Метод следов строит линии пересечения секущей плоскости с плоскостями граней, а затем находит нужные точки на границах граней. Метод внутренних точек начинает с уже известных точек и последовательно строит стороны сечения на гранях, находя новые точки.
Как найти недостающую вершину сечения, если она не задана?
Нужно продолжить построение на соседней грани: найти две точки, принадлежащие секущей плоскости и этой грани, и провести через них линию сечения. Её пересечение с ребром грани может дать недостающую вершину. Вспомогательные прямые допускается продолжать, но точкой сечения будет только точка на границе многогранника.
Как проверить правильность построенного сечения?
Проверьте, что многоугольник замкнут, а каждая его вершина лежит на ребре многогранника. Каждая сторона должна проходить по одной грани и не выходить за её пределы. Также убедитесь, что точки соединены в правильном порядке и лишних линий нет.
§ 12. Методы построения сечений многогранников
