§ 11. Центральное проектирование. Изображение пространственных фигур в центральной проекции

Определения и обозначения

Центральное проектирование — способ получить изображение пространственной фигуры с помощью прямых, проведённых из одной фиксированной точки. Оно нужно, чтобы передать на плоскости вид объёмного предмета с учётом его положения и удалённости.

Центр проектирования — фиксированная точка S, из которой проводят проектирующие прямые к точкам фигуры. Он задаёт единое направление наблюдения: если менять центр для разных точек, согласованного изображения не получится.

Плоскость проекций — плоскость α, на которой получают изображение пространственной фигуры. Все построенные проекции должны лежать именно в этой плоскости, поэтому она играет роль поверхности рисунка.

Центральная проекция точки — точка пересечения проектирующей прямой с плоскостью проекций. Если через S и A провести прямую SA, то её пересечение с α будет изображением точки A; обычно его обозначают A₁.

Как это устроено

Чтобы построить центральную проекцию точки A, соединяют её с центром S прямой SA. Затем находят точку пересечения этой прямой с плоскостью проекций α. Пересечение и принимают за изображение A₁, потому что луч от центра к исходной точке попадает на плоскость именно в этом месте. Если SA параллельна α, конечной точки пересечения в обычном пространстве нет.

Изображение фигуры строят не одной операцией, а по её существенным точкам. Сначала проектируют вершины, концы рёбер и при необходимости другие точки, а затем соединяют полученные изображения. Ребро соединяют только с теми вершинами, с которыми оно соединено в исходной фигуре, а грани восстанавливают по их границам. Так сохраняется структура фигуры, хотя её вид на плоскости меняется.

Прямая, не проходящая через S, обычно изображается прямой. Действительно, для каждой её точки проектирующая прямая проходит через S, и все такие прямые лежат в одной плоскости, содержащей исходную прямую и центр. Эта плоскость пересекает α по прямой, поэтому изображения точек исходной прямой располагаются на одной прямой. Если же исходная прямая проходит через S, все её точки проектируются в одно и то же место.

Центральная проекция не обязана сохранять длины, углы и параллельность. Точки, расположенные на разных расстояниях от S или α, получают разные масштабы, поэтому равные отрезки могут выглядеть неодинаково, а угол — измениться. Параллельные прямые тоже могут получить пересекающиеся изображения: их общая точка называется точкой схода и отражает направление этих прямых. Поэтому перспективный рисунок похож на видимый предмет, но не является его точной копией.

Свойства центральной проекции

Таблица помогает быстро определить, что произойдёт с основными объектами при проектировании. Сначала проверьте, проходит ли объект через центр S и не параллельна ли проектирующая прямая плоскости α. Затем учитывайте, какие свойства сохраняются, а какие на рисунке могут измениться.

Разбор задач

Построение проекции точки

Условие. Даны центр проектирования S, плоскость проекций α и точка A, не лежащая в α. Нужно построить центральную проекцию точки A.

1. Проведите через S и A прямую SA. Она будет проектирующей прямой для точки A.
2. Найдите её пересечение с плоскостью α и обозначьте полученную точку A₁.
3. Проверьте, что A₁ лежит на α, а точки S, A и A₁ находятся на одной прямой.

Ответ. Центральная проекция точки A — точка A₁ = SA ∩ α. Построение возможно в обычном виде, если SA не параллельна α.

Проекция отрезка

Условие. Даны S, α и отрезок AB, не проходящий через S. Требуется построить его изображение и объяснить, почему оно является отрезком.

1. Проведите прямые SA и SB, затем отметьте A₁ = SA ∩ α и B₁ = SB ∩ α.
2. Соедините точки A₁ и B₁ на плоскости α. Полученная линия является изображением отрезка AB.
3. Обоснование основано на плоскости SAB: все проектирующие прямые точек AB лежат в ней, а её пересечение с α — прямая A₁B₁.

Ответ. Изображение отрезка AB — отрезок A₁B₁. Важно, что AB не проходит через S: иначе все его точки имели бы одну и ту же проекцию.

Проекция параллелепипеда

Условие. Нужно построить центральную проекцию параллелепипеда и определить, какие рёбра могут изображаться сходящимися.

1. Спроектируйте из S все вершины параллелепипеда на α и обозначьте их проекциями.
2. Соедините проекции тех вершин, которые соединены рёбрами исходного тела; по ним восстановите видимые грани.
3. Сравните группы параллельных рёбер. Рёбра одного направления могут пересекаться на рисунке в общей точке схода, особенно если продолжить их изображения.

Ответ. Сходящимися могут изображаться любые параллельные рёбра, чьи проектируемые направления дают одну точку схода. При построении нельзя решать по внешнему виду, какие рёбра соединять: нужно опираться на структуру параллелепипеда.

Типичные ошибки

Разные центры для разных точек. Ученик воспринимает проекцию как произвольный рисунок и проводит линии из нескольких точек. Проверьте себя: все проектирующие прямые должны пересекаться в одном центре S.

Перпендикулярное проектирование. Перпендикуляр к плоскости используют при параллельном проектировании, а в центральном проводят прямую через S и данную точку. Для проверки найдите общий центр всех проектирующих прямых.

Сохранение параллельности. Параллельные пространственные прямые не обязаны оставаться параллельными на рисунке. Если их продолжения пересекаются в точке схода, это не ошибка, а обычное свойство перспективного изображения.

Измерение по рисунку. Видимая длина отрезка или величина угла может отличаться от настоящей. Проверяйте, дано ли дополнительное основание для измерения, и не считайте масштаб изображения одинаковым для всех частей фигуры.

Связь с другими темами

Для центрального проектирования нужны знания о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. Они помогают правильно проводить проектирующие прямые и понимать, почему изображения лежат на одной линии или в одной плоскости.

Тема подготавливает к изучению параллельного проектирования. Сравнение двух способов показывает, почему при одном из них параллельность обычно сохраняется, а при другом возникают точки схода.

Центральное проектирование используется в перспективных изображениях, архитектурных чертежах, компьютерной графике и техническом рисунке. Во всех этих областях важно передать объёмный объект на плоском изображении.

Что запомнить

• Центральная проекция строится из одной фиксированной точки — центра проектирования.
• Проекция точки — пересечение проектирующей прямой с плоскостью проекций.
• Прямая обычно проектируется в прямую, если она не проходит через центр проектирования.
• Принадлежность точки прямой сохраняется при проектировании.
• Длины и углы в центральной проекции обычно не сохраняются.
• Параллельные прямые могут изображаться пересекающимися.
• Для изображения фигуры сначала проектируют её основные точки, затем восстанавливают рёбра и грани.