§ 10. Свойства изображений некоторых многоугольников в параллельной проекции

Определения и обозначения

Параллельная проекция — отображение точек пространства на плоскость вдоль прямых, параллельных выбранному направлению. Это направление не должно быть параллельно плоскости проекций: иначе проецирующие прямые не пересекут плоскость в единственной точке. Такое отображение позволяет строить плоские изображения пространственных фигур.

Изображение фигуры — множество проекций всех точек этой фигуры на плоскость. Каждой вершине многоугольника соответствует точка, а каждой его стороне — отрезок, соединяющий изображения концов стороны. Так можно изобразить фигуру, не перенося на чертёж все её пространственные точки.

Изображение многоугольника — многоугольник, полученный проецированием его вершин и сторон. При невырожденной проекции, когда фигура не схлопывается в отрезок или точку, порядок вершин сохраняется. Это нужно, чтобы правильно понимать, какие отрезки на чертеже изображают стороны исходного многоугольника.

Как это устроено

Пусть на исходной прямой выбраны несколько точек. Через каждую из них проводят проецирующую прямую одного и того же направления, и точки пересечения этих прямых с плоскостью лежат на одной прямой. Причина в том, что исходная прямая вместе с направлением проецирования задаёт плоскость, а пересечение этой плоскости с плоскостью проекций — прямая. Поэтому сторона многоугольника, лежащая на прямой, изображается отрезком.

Параллельные исходные прямые вместе с направлением проецирования задают параллельные плоскости. Их пересечения с плоскостью проекций также параллельны; в особом случае образы могут совпасть. Значит, параллельность противоположных сторон многоугольника сохраняется. Именно это свойство позволяет распознавать изображение параллелограмма и проводить на чертеже параллельные стороны трапеции.

Проекция не обязана сохранять длины: отрезки, направленные по-разному относительно плоскости, могут укорачиваться неодинаково. Но если отрезки лежат на одной прямой, или на параллельных прямых, проецирующие линии задают одинаковое преобразование вдоль этих прямых. Поэтому отношение их длин сохраняется: например, если один отрезок вдвое длиннее другого, таким же будет отношение изображений. Это позволяет строить середины и делить стороны в заданном отношении.

У параллелограмма обе пары противоположных сторон параллельны. После проецирования каждая пара остаётся параллельной, поэтому при невырожденном изображении получается снова параллелограмм. Равенство соседних или противоположных сторон для этого вывода не требуется. Длины могут измениться, так что исходный ромб, например, на рисунке не обязательно будет выглядеть ромбом.

В трапеции основания параллельны, и их изображения тоже параллельны. У треугольника сохраняются прямолинейные стороны, потому что каждая сторона лежит на прямой. Но ни прямые углы, ни равенство сторон в общем случае не сохраняются: проецирование меняет длины в зависимости от направления, а значит, может изменить и вид углов. Поэтому геометрические выводы делают по сохранённым свойствам, а не только по внешнему виду рисунка.

Какие свойства многоугольников сохраняются при параллельном проецировании

Таблица помогает отделить свойства, на которые можно опираться при построении, от тех, которые нельзя считать неизменными. Сначала найди в условии параллельность или отношение отрезков, затем проверь, относится ли оно к сохраняемым свойствам. Не определяй реальные длины и углы по одному только виду изображения.

Разбор задач

Изображение параллелограмма

Условие. Параллелограмм ABCD спроецирован на плоскость. Объясни, почему его изображение также является параллелограммом. Требуется обосновать вывод не по внешнему виду чертежа, а по свойствам проекции. Обозначим изображения вершин теми же буквами со штрихом.

1. В исходном параллелограмме AB ∥ CD и AD ∥ BC.
2. Параллельное проецирование переводит параллельные прямые в параллельные или совпадающие прямые. Значит, A′B′ ∥ C′D′ и A′D′ ∥ B′C′.
3. В невырожденном изображении эти стороны образуют четырёхугольник с двумя парами параллельных противоположных сторон. По определению это параллелограмм.

Ответ: изображение ABCD является параллелограммом, потому что сохраняется параллельность обеих пар противоположных сторон. Равенство сторон или прямые углы для доказательства не нужны. Если изображение вырождено, утверждение о получившемся параллелограмме применять нельзя.

Изображение середины стороны

Условие. В треугольнике ABC точка M — середина AB. Изображения вершин A, B и C заданы. Нужно построить изображение M. Здесь достаточно работать с изображённой стороной, не строя всю проекцию треугольника заново. Решение опирается на сохранение отношения отрезков на одной прямой.

1. Поскольку M лежит на AB, её изображение M′ лежит на отрезке A′B′.
2. Из условия AM = MB, поэтому отношение AM:MB равно 1:1. При проецировании отношение частей стороны сохраняется.
3. На отрезке A′B′ отметь точку, делящую его в отношении 1:1. Это его середина; вершина C′ для этого построения не требуется.

Ответ: M′ — середина отрезка A′B′. Такой способ годится и для точки, делящей сторону в другом заданном отношении: нужно разделить изображённый отрезок в том же отношении. Длина A′B′ при этом может отличаться от длины AB.

Основания трапеции и неизвестная вершина

Условие. В трапеции ABCD основания AB и CD, причём AB вдвое длиннее CD. Известны изображения трёх вершин; допустим, это A′, B′ и C′, а D′ нужно построить. Требуется использовать и параллельность оснований, и отношение их длин. По условию одного лишь внешнего вида выбирать положение D′ нельзя.

1. Так как AB ∥ CD, прямая через C′, на которой лежит основание C′D′, должна быть параллельна A′B′.
2. Отношение AB:CD равно 2:1. Эти отрезки лежат на параллельных прямых, поэтому их изображения сохраняют то же отношение: A′B′:C′D′ = 2:1.
3. На прямой через C′ отложи отрезок длиной, равной половине A′B′. Выбери направление, при котором вершины идут в порядке A′, B′, C′, D′ и получается нужная трапеция.

Ответ: D′ лежит на прямой через C′, параллельной A′B′, и отстоит от C′ на половину длины A′B′. Если известна другая тройка вершин, недостающую вершину строят с учётом положения обоих оснований и порядка вершин. По одним длинам или углам восстановить исходную фигуру нельзя: длины и углы в общем случае не сохраняются.

Типичные ошибки

• Считать, что сохраняются длины. Это неверно: отрезки разных направлений могут менять масштаб по-разному, поэтому видимое равенство на рисунке не доказывает равенства в исходной фигуре. Ошибка возникает, когда изображение принимают за точную копию. Проверяй, требуется ли длина в задаче и есть ли для неё отдельное основание, например сохранение отношения.

• Считать, что перпендикулярные прямые останутся перпендикулярными. Проекция сохраняет параллельность, но не величину угла; образ прямого угла может стать острым или тупым. Эту ошибку часто провоцирует чертёж, где угол выглядит прямым. Проверяй перпендикулярность по условию или доказательству, а не на глаз.

• Путать параллельность и равенство сторон. Из того, что противоположные стороны параллелограмма после проекции остаются параллельными, не следует, что их изображения обязательно равны. Параллельность и равенство — разные свойства, и одно не доказывает другое. Для равенства ищи сведения о сохраняемом отношении или используй отдельные данные задачи.

• Судить об исходной фигуре по её виду на рисунке. На схеме угол может казаться прямым, а стороны — равными, хотя проекция этого не гарантирует. Так происходит, когда чертёж воспринимают как измерительный. Сверь каждый вывод с перечнем сохраняемых свойств и условием задачи.

Связь с другими темами

Для работы с проекцией нужны понятия параллельных прямых, многоугольника, середины отрезка и отношения отрезков. Они помогают понять, какие элементы переходят друг в друга и какие соотношения можно переносить на чертёж. Если эти понятия знакомы, построение изображения становится применением уже изученных свойств, а не набором правил без объяснения.

Параллельное проецирование используют при изображении пространственных фигур на плоскости. Сохранение параллельности и отношений отрезков пригодится в задачах на сечения и построения: можно проводить нужные линии и находить точки деления. При этом свойства, которые проекция не сохраняет, нельзя использовать для восстановления пространственной формы без дополнительных данных.

Что запомнить

• Точки пространства проецируются на плоскость вдоль параллельных прямых.
• Сторона многоугольника изображается отрезком.
• Параллельность прямых при параллельном проецировании сохраняется.
• Отношения отрезков на одной прямой и на параллельных прямых сохраняются.
• Параллелограмм изображается параллелограммом.
• Длины, углы и перпендикулярность в общем случае не сохраняются.