§ 9. Параллельное проектирование. Изображение плоских и пространственных фигур в стереометрии

Определения и обозначения

Параллельное проектирование — способ изображения фигуры, при котором её точки проектируют на плоскость по параллельным прямым. Иными словами, из разных точек проводят «лучи» в одном направлении. Такой способ нужен, чтобы передать пространственную фигуру на плоском чертеже.

Направление проектирования — направление прямых, по которым проводят проецирующие лучи. Оно не должно быть параллельно плоскости изображения, иначе лучи могут не пересечь эту плоскость. Выбор направления влияет на внешний вид и видимость элементов фигуры.

Плоскость проекций — плоскость, на которую переносят точки изображаемой фигуры. Её можно представить как лист, на котором строят чертёж. От положения этой плоскости зависит, какие размеры и формы будут видны на изображении.

Изображение фигуры — совокупность проекций всех её точек на плоскость проекций. На практике не проводят бесконечно много точек, а отмечают вершины и другие характерные элементы. Затем их соединяют так, чтобы сохранить связи исходной фигуры.

Как это устроено

Чтобы получить проекцию точки A, через неё проводят прямую заданного направления. Эта прямая пересекает плоскость проекций в точке A′, которую называют образом точки A. Направление должно быть таким, чтобы пересечение существовало и не уходило параллельно плоскости.

Фигуру целиком обычно строят через её характерные точки: вершины многоугольника, концы отрезков или точки пересечения. После нахождения их образов соединяют соответствующие точки в том же порядке, что и в исходной фигуре. Так сохраняется информация о том, какие элементы соединены и какие стороны принадлежат одной грани.

Параллельные прямые обычно остаются параллельными, потому что их проецирующие прямые имеют одно направление. Если бы образы пересеклись в обычной точке, исходные связи между прямыми нарушились бы. Исключение возникает, когда исходная прямая параллельна направлению проектирования: тогда все её точки могут перейти в одну точку.

Если точка лежит на прямой, то её образ лежит на образе этой прямой, поскольку проецирование сохраняет общий способ построения точек. Поэтому сохраняются принадлежность точки прямой и отношение отрезков на одной прямой; в частности, середина отрезка переходит в середину его образа. Длины и углы обычно не сохраняются, потому что при переходе на плоскость меняется положение элементов относительно направления проектирования.

Для пространственной фигуры сначала выбирают удобное положение плоскости проекций и отмечают образы вершин. Затем проводят рёбра, сохраняя параллельность соответствующих направлений и связи между вершинами. Рёбра, которые видны наблюдателю, изображают сплошными линиями, а скрытые гранями рёбра — штриховыми.

Что сохраняет параллельное проектирование

Таблица помогает отличить свойства, которые переходят на изображение без изменения, от свойств, которые могут исказиться. При чтении нужно учитывать условие: речь идёт о невырожденной проекции, когда элемент не превратился в точку. Для пространственного чертежа особенно полезно сначала проверять сохранение связей и параллельности, а не длины сторон.

Разбор задач

Задача 1. Изображение треугольника

Условие. Постройте изображение треугольника ABC при заданных плоскости проекций и направлении проектирования. Требуется получить именно образ фигуры, а не изменить связи между её вершинами. Поэтому главное — правильно спроектировать три вершины.

1. Через точки A, B и C проведите проецирующие прямые в заданном направлении и найдите точки пересечения A′, B′ и C′ с плоскостью проекций.
2. Соедините A′ с B′, B′ с C′ и C′ с A′, потому что в исходном треугольнике соответствующие вершины соединены сторонами.
3. Проверьте, что каждая вершина получила свой образ, а стороны не соединены крест-накрест. Если сторона исходного треугольника была параллельна направлению проектирования, её образ мог выродиться в точку.

Ответ. Искомое изображение — треугольник A′B′C′, построенный как соединение образов трёх вершин. Его форма и размеры могут отличаться от исходного треугольника.

Задача 2. Середина отрезка

Условие. Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B — середина AC. Как расположена точка B′ относительно A′ и C′? Нужно использовать не внешний вид чертежа, а свойство отношений отрезков при параллельном проектировании.

1. Так как A, B и C лежат на одной прямой, их образы A′, B′ и C′ лежат на одной прямой или могут совпасть при вырождении.
2. Из условия AB = BC следует отношение AB : BC = 1 : 1. Это отношение сохраняется при параллельном проектировании на одной прямой.
3. Значит, на образе отрезка A′C′ точка B′ делит его на равные части. Это рассуждение применимо, если образ отрезка не выродился в одну точку.

Ответ. В невырожденном изображении B′ — середина отрезка A′C′.

Задача 3. Куб и диагональное сечение

Условие. Изобразите куб ABCDA₁B₁C₁D₁ параллельным проектированием, отметьте видимые и невидимые рёбра и покажите диагональное сечение ACC₁A₁. Удобно выбрать переднюю грань ABCD и отложить параллельные направления к вершинам с индексом 1. Сечение проходит через диагональ основания AC и соответствующую диагональ верхней грани A₁C₁.

1. Постройте параллелограмм ABCD, затем из его вершин проведите в одном направлении равные отрезки AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁, получив верхние вершины куба.
2. Соедините соответствующие вершины и сохраните параллельность рёбер: AA₁ ∥ BB₁ ∥ CC₁ ∥ DD₁. Видимые рёбра проведите сплошными, а закрытые гранями — штриховыми, ориентируясь на выбранное положение наблюдателя.
3. Проведите диагонали AC и A₁C₁, затем соедините A с A₁ и C с C₁. Полученный параллелограмм ACC₁A₁ является изображением диагонального сечения.

Ответ. Куб строится по параллельным рёбрам и связям между вершинами, а диагональное сечение изображается параллелограммом ACC₁A₁. Невидимые рёбра на итоговом чертеже обозначают штриховыми линиями.

Типичные ошибки

Считать, что сохраняются длины. Ученик измеряет сторону на чертеже и принимает её за настоящую длину, хотя положение отрезка могло изменить масштаб его образа. Проверка: не сравнивайте длины без дополнительных условий, а используйте сохраняющиеся отношения.

Переносить величины углов на рисунок. Внешний вид параллелограмма или пространственной фигуры часто воспринимают как точную геометрическую модель. Проверка: угол на чертеже можно считать настоящим только при наличии специального обоснования, а не по одному виду изображения.

Считать, что любые параллельные прямые дадут две разные параллельные прямые. Это неверно, если исходная прямая параллельна направлению проектирования: все её точки способны перейти в одну точку. Проверка: перед использованием свойства убедитесь, что образ каждой прямой не вырождается.

Проводить все рёбра пространственной фигуры сплошными линиями. Так стирается различие между видимыми и скрытыми частями тела, и чертёж становится неоднозначным. Проверка: для каждого ребра определите, закрыто ли оно гранью, и невидимые рёбра замените штриховыми.

Связь с другими темами

До изучения проектирования нужны знания о параллельных и пересекающихся прямых, отрезках и отношениях их длин. Эти понятия позволяют понять, какие связи сохраняются при переносе фигуры на плоскость. Без них трудно обосновать положение образов точек и середин отрезков.

Параллельное проектирование помогает строить чертежи пространственных тел и решать задачи по стереометрии. По нему изображают призмы, пирамиды, кубы и другие многогранники. Чертёж становится способом рассуждать о фигуре, а не только иллюстрацией.

Тема непосредственно связана с изображением многогранников и построением сечений. При построении сечения важно сохранять принадлежность точек граням и прямым, а также параллельность соответствующих элементов. Эти правила позволяют переносить пространственную задачу на плоский чертёж.

Что запомнить

• Проецирующие прямые параллельны друг другу.
• Образ точки — пересечение её проецирующей прямой с плоскостью проекций.
• Точки одной прямой переходят в точки одной прямой или в одну точку.
• Параллельность прямых сохраняется, если их изображения не вырождаются.
• Отношение отрезков на одной прямой сохраняется.
• Длины и углы в общем случае не сохраняются.
• Невидимые рёбра на чертеже показывают штриховыми линиями.