§ 8. Параллельность двух плоскостей

Определения и обозначения

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Плоскости α и β обозначают так: α ∥ β. Это определение помогает отличить параллельные плоскости от пересекающихся: у последних есть общая прямая.

Параллельные прямые — прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. Это понятие понадобится для сравнения прямых, лежащих в разных плоскостях: пары параллельных прямых помогают проверить признак параллельности плоскостей.

Секущая плоскость — плоскость, которая пересекает каждую из двух рассматриваемых плоскостей по прямой. Она позволяет увидеть взаимное расположение исходных плоскостей через взаимное расположение получившихся прямых.

Линия пересечения двух плоскостей — прямая, каждая точка которой принадлежит обеим плоскостям. Если плоскости α и β пересекаются, их общую прямую обозначают α ∩ β. Именно по этой линии проявляется их пересечение.

Как это устроено

В пространстве две плоскости либо не имеют общих точек, либо пересекаются по прямой. Если у них есть общая точка, а плоскости не совпадают, через неё проходит линия, общая для обеих плоскостей. Это связано с тем, что две пересекающиеся прямые задают единственную плоскость: общая часть плоскостей не может состоять только из одной точки и продолжается по прямой.

Признак параллельности плоскостей позволяет сделать вывод о плоскостях по прямым внутри них. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны. Иначе говоря, для прямых a и b в α и прямых a₁ и b₁ в β условие a ∥ a₁ и b ∥ b₁ вместе с пересечением a и b даёт вывод α ∥ β.

В признаке требуются именно две пересекающиеся прямые, потому что они однозначно задают положение плоскости. Одна прямая может принадлежать бесконечно многим плоскостям, проходящим через неё, поэтому параллельность одной пары прямых ещё не показывает, как расположены целые плоскости. Проверка пересечения прямых исключает и ситуацию, когда выбранные прямые не задают нужную плоскость.

Если две параллельные плоскости пересекают одну и ту же прямую, то эта прямая пересекает обе плоскости, а точки пересечения различны. Если бы точка была общей для двух плоскостей, сами плоскости имели бы общую точку, что противоречит их параллельности. Для параллельных прямых, пересекающих обе плоскости, отрезки между плоскостями равны: отрезки образуют боковые стороны параллелограмма вместе с отрезками в плоскостях.

Секущая плоскость помогает установить параллельность исходных плоскостей: если она пересекает их по параллельным прямым, эти линии не имеют общей точки. Общая точка линий была бы общей точкой исходных плоскостей, поэтому плоскости не пересекаются и параллельны. И наоборот, если плоскости уже параллельны и секущая пересекает обе, их линии пересечения параллельны.

Параллельные плоскости: определение, признак и следствия

Пользуйся таблицей, сначала проверяя условие нужного утверждения, а затем выбирая соответствующий вывод. В задаче на доказательство параллельности плоскостей ищи пару пересекающихся прямых и соответствующие им параллельные прямые. Если речь идёт о секущей, сначала установи, какие именно линии она образует.

Разбор задач

Задача 1

Даны две пересекающиеся прямые a и b в плоскости α и прямые a₁ и b₁ в плоскости β, причём a ∥ a₁ и b ∥ b₁. Докажите, что α ∥ β. Главная проверка здесь уже указана в условии: прямые a и b пересекаются, значит, можно применить признак параллельности плоскостей.

1. Выпишем две прямые в плоскости α: это a и b.
2. Проверим условие признака: a и b пересекаются, а в плоскости β лежат соответственно параллельные им прямые a₁ и b₁.
3. Применим признак параллельности плоскостей: α ∥ β.

Ответ: α ∥ β.

Задача 2

Плоскости α и β параллельны, а секущая плоскость γ пересекает их по прямым a и b. Докажите, что a ∥ b. Обе линии лежат в γ, поэтому, если бы они пересекались, точка их пересечения принадлежала бы и α, и β.

1. Предположим обратное: прямые a и b пересекаются в точке X.
2. Так как a лежит в α, точка X принадлежит α; так как b лежит в β, точка X принадлежит β.
3. Получается общая точка параллельных плоскостей, что невозможно. Следовательно, a и b не пересекаются; поскольку они лежат в одной плоскости γ, они параллельны.

Ответ: a ∥ b.

Задача 3

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ лежат в плоскостях α и β. Известно, что AB ∥ A₁B₁, AC ∥ A₁C₁, а AB и AC пересекаются. Докажите, что плоскости треугольников параллельны, и определите взаимное положение линий пересечения с плоскостью, проходящей через AB и A₁B₁. Сначала используем стороны, задающие плоскости треугольников, затем — свойства секущей.

1. Прямые AB и AC пересекаются в точке A и лежат в α. Прямые A₁B₁ и A₁C₁ лежат в β и соответственно параллельны первым двум.
2. По признаку параллельности плоскостей α ∥ β.
3. Плоскость, проходящая через параллельные AB и A₁B₁, пересекает α по AB, а β по A₁B₁. По свойству секущей эти линии параллельны.

Ответ: плоскости треугольников параллельны; линии их пересечения с указанной плоскостью — AB и A₁B₁ — параллельны.

Типичные ошибки

Ошибка: считать плоскости параллельными, найдя в них одну пару параллельных прямых. Эти прямые могут лежать в пересекающихся плоскостях, поэтому такое рассуждение не задаёт положение всей плоскости. Проверяй, найдена ли в одной плоскости ещё одна пересекающаяся с первой прямая и есть ли в другой плоскости соответствующая ей параллельная прямая.

Ошибка: применять признак, не проверив, пересекаются ли две прямые в одной плоскости. Если они параллельны или скрещиваются, условие признака не выполнено. Перед выводом отметь точку их пересечения и убедись, что обе прямые действительно лежат в рассматриваемой плоскости.

Ошибка: путать параллельные и совпадающие плоскости. Совпадающие плоскости имеют все точки общими, а параллельные по определению не имеют общих точек. Проверь, что в условии речь идёт о двух разных плоскостях и что у них нет общей точки.

Ошибка: утверждать, что линии пересечения параллельных плоскостей секущей совпадают. Они лежат в одной секущей плоскости, но каждая принадлежит своей исходной плоскости. Если бы линии совпали, у исходных плоскостей появилась бы общая прямая; правильный вывод — линии параллельны.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, как могут располагаться прямые и плоскости, и уметь распознавать параллельные прямые. Ещё понадобится теорема: через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость. Она объясняет, почему пара прямых задаёт положение плоскости и почему одного направления недостаточно.

Признак параллельности плоскостей используют в дальнейших доказательствах стереометрии. Он помогает устанавливать свойства многогранников и разбирать параллельное проектирование, когда важно понять, как плоскости и линии соотносятся в пространстве.

Что запомнить

• Параллельные плоскости не имеют общих точек.
• Две пересекающиеся прямые одной плоскости задают её положение.
• Для признака нужны две пересекающиеся прямые и две соответствующие им параллельные прямые.
• Если секущая плоскость пересекает две параллельные плоскости, линии пересечения параллельны.
• Параллельные плоскости, пересечённые параллельными прямыми, дают равные отрезки между плоскостями.