§ 7. Параллельность прямой и плоскости

Определения и обозначения

Взаимное положение прямой и плоскости — это то, как они расположены друг относительно друга; возможны три случая: прямая лежит в плоскости, пересекает её или не имеет с ней общих точек. Например, если плоскость представить как ровную поверхность, прямая может проходить по ней, прокалывать её или находиться рядом. Это деление помогает выбрать подходящий способ рассуждения в задаче.

Прямая, параллельная плоскости, — прямая, не имеющая с ней общих точек; обозначение: a ∥ α. Буквой a обычно обозначают прямую, а греческой буквой α — плоскость. Условие об отсутствии общих точек отличает параллельность от пересечения и от случая, когда прямая целиком лежит в плоскости.

Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости. Это утверждение позволяет доказывать пространственное расположение через уже знакомую параллельность двух прямых. Условие, что данная прямая не лежит в плоскости, обязательно.

Параллельные прямая и плоскость — прямая и плоскость, не имеющие общих точек. Это определение описывает именно результат: у фигур нет ни одной общей точки, хотя они находятся в пространстве. Оно нужно, чтобы точно отличать параллельность от пересечения и принадлежности прямой плоскости.

Как это устроено

У прямой бесконечно много точек, но относительно плоскости возможны только три варианта. Если все точки прямой принадлежат плоскости, прямая лежит в ней. Если хотя бы одна точка прямой находится вне плоскости, то прямая либо проходит через неё в одной точке, либо совсем её не встречает: прямая не может выйти из плоскости и снова пересечь её в другой точке, не оказавшись целиком в этой плоскости. Поэтому третьего варианта, кроме лежания, пересечения и отсутствия общих точек, нет.

Параллельностью называют только случай, когда общих точек нет. Если прямая лежит в плоскости, она имеет с ней бесконечно много общих точек, поэтому называть её параллельной плоскости было бы неточно. Разделение этих ситуаций важно в теоремах: условие «не лежит в плоскости» исключает совпадение направления прямой с расположением внутри плоскости. Так определение становится однозначным и подходит для доказательств.

Признак сводит задачу о прямой и плоскости к более привычному вопросу о двух прямых. Вместо того чтобы проверять все точки прямой на принадлежность плоскости, достаточно найти в плоскости одну прямую, параллельную данной. При этом отдельно проверяют, что исходная прямая в плоскости не лежит. Если выполнены оба условия, по признаку она не пересекает плоскость и параллельна ей.

Почему прямая, параллельная прямой плоскости, не может пересечь эту плоскость? Предположим, что пересечение всё же есть, и обозначим общую точку через P. Тогда P принадлежит и данной прямой, и плоскости; значит, оно также принадлежит прямой плоскости, параллельной данной. Получается, что две параллельные прямые имеют общую точку, а это невозможно, если они не совпадают. Совпадение тоже исключено: исходная прямая не лежит в плоскости.

В задаче сначала выясняют, какие прямые заведомо лежат в нужной плоскости: это могут быть её стороны, рёбра или прямые, построенные внутри неё. Затем устанавливают параллельность одной из них данной прямой — например, по свойству параллелограмма или средней линии треугольника. Наконец, проверяют, что данная прямая не является прямой этой плоскости. Такая последовательность закрывает оба условия признака и превращает наблюдение на чертеже в доказательство.

Взаимное положение прямой и плоскости

Сначала определите, сколько общих точек у прямой и плоскости: ноль, одну или все точки прямой. Затем сопоставьте это с обозначением и геометрической характеристикой в строке таблицы. Если нужно доказать отсутствие общих точек, используйте признак параллельности, а не только видимый наклон линий.

Разбор задач

Прямая и плоскость в кубе

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ доказать, что прямая AA₁ параллельна плоскости BCC₁B₁. Идея — подобрать в этой плоскости прямую, параллельную AA₁. В кубе боковые рёбра AA₁ и BB₁ параллельны, а BB₁ — ребро грани BCC₁B₁.

1. Установим, что BB₁ лежит в плоскости BCC₁B₁: это одно из её рёбер. По свойству куба боковые рёбра AA₁ и BB₁ параллельны. Значит, мы нашли в плоскости нужную прямую-посредник.

2. Проверим условие неприналежности. Точка A не принадлежит грани BCC₁B₁, поэтому ребро AA₁ не может лежать в этой плоскости. Применяем признак: прямая AA₁ параллельна прямой BB₁ плоскости и сама в плоскости не лежит.

Ответ: AA₁ ∥ плоскости BCC₁B₁.

Средняя линия тетраэдра

Задача. В тетраэдре SABC точки M и N — середины рёбер SA и SB. Доказать, что MN параллельна плоскости ABC. Поскольку M и N лежат на сторонах треугольника SAB, рассмотрим среднюю линию этого треугольника. Она даст прямую, параллельную MN, которая принадлежит плоскости ABC.

1. В треугольнике SAB точки M и N — середины двух сторон SA и SB. По свойству средней линии MN ∥ AB. Сторона AB лежит в плоскости ABC.

2. Проверим, что MN не лежит в плоскости ABC. Точка M находится на ребре SA, но не совпадает с A; она не принадлежит плоскости ABC, так как плоскость ABC пересекает прямую SA в точке A. Значит, прямая MN тоже не может целиком лежать в плоскости ABC.

3. Теперь выполнены оба условия признака: MN параллельна прямой AB плоскости ABC и не лежит в этой плоскости. Следовательно, MN параллельна всей плоскости ABC. Здесь важно доказать не только параллельность MN и AB, но и неприналежность MN плоскости.

Ответ: MN ∥ плоскости ABC.

Прямая, заданная параметрически

Задача. Исследовать взаимное положение прямой x = 1 + t, y = 2t, z = 0 и плоскости 2x − y + z = 3. Направляющий вектор прямой равен (1, 2, 0), а нормальный вектор плоскости — (2, −1, 1). Если их скалярное произведение равно нулю, направление прямой параллельно плоскости или лежит в ней, поэтому отдельно проверим принадлежность.

1. Вычислим скалярное произведение направляющего и нормального векторов: 1·2 + 2·(−1) + 0·1 = 0. Значит, направляющий вектор перпендикулярен нормали плоскости, то есть направление прямой параллельно плоскости. Это ещё не исключает случая, когда прямая лежит в плоскости.

2. Подставим координаты точки прямой в уравнение плоскости. Получим 2(1 + t) − 2t + 0 = 2, а не 3, при любом t. Значит, ни одна точка прямой не принадлежит плоскости, и прямая в ней не лежит.

3. Направление параллельно плоскости, а сама прямая ей не принадлежит. Следовательно, она не пересекает плоскость и параллельна ей. Проверка принадлежности позволила выбрать именно параллельность, а не случай расположения прямой внутри плоскости.

Ответ: прямая параллельна плоскости 2x − y + z = 3.

Типичные ошибки

Считать прямую параллельной плоскости только потому, что на рисунке она её не пересекает. Чертёж может быть условным: на нём сложно точно передать положение объектов в пространстве. Проверка: найдите в плоскости прямую, параллельную данной, и обоснуйте, что исходная прямая в плоскости не лежит.

Применять признак, забыв условие, что данная прямая не лежит в плоскости. Так бывает, когда внимание сосредоточено только на найденной паре параллельных прямых. Проверка: отдельно укажите, почему исходная прямая не принадлежит плоскости; без этого признака недостаточно.

Подменять параллельность прямой и плоскости параллельностью данной прямой с какой-нибудь прямой вне этой плоскости. Параллельная прямая-посредник должна именно лежать в рассматриваемой плоскости. Проверка: подтвердите принадлежность всех точек выбранной прямой плоскости, например укажите, что это её ребро.

Доказывать параллельность одной точкой или тем, что линии не пересекаются на чертеже. Одна точка не показывает, как расположены объекты в остальном пространстве, а рисунок не заменяет доказательство. Проверка: используйте пространственные данные задачи, установите параллельность прямой плоскости через признак и проверьте оба его условия.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны знания о взаимном положении прямых в пространстве, параллельных прямых и признаках их параллельности. Также пригодятся принадлежность точки, прямой и плоскости, а в задачах с треугольниками — свойство средней линии. Доказанные здесь приёмы будут полезны при изучении параллельности плоскостей, сечений многогранников, расстояний и углов в пространстве.

Что запомнить

• Прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек.

• Прямая, лежащая в плоскости, не считается параллельной этой плоскости.

• Для доказательства параллельности достаточно найти в плоскости прямую, параллельную данной.

• Данная прямая не должна лежать в рассматриваемой плоскости.

• Если прямая параллельна одной из двух пересекающихся прямых плоскости, она может быть параллельна этой плоскости при выполнении условия неприналежности.

• На чертеже параллельность нужно подтверждать теоремой, а не только визуально.