§ 37. Параллельность прямой и плоскости

Определения и обозначения

Прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек; при этом прямая не лежит в плоскости. Записывают, например, a ∥ α, где a — прямая, α — плоскость. Такое определение отличает параллельность от ситуации, когда на рисунке линии просто не соприкасаются.

Прямая лежит в плоскости, если каждая её точка принадлежит этой плоскости. В этом случае общих точек бесконечно много, поэтому прямую не называют параллельной плоскости. Это различие нужно учитывать, когда вы применяете признак параллельности.

Прямая пересекает плоскость, если у них есть ровно одна общая точка. Эту точку называют точкой пересечения. Такое расположение отличается и от принадлежности прямой плоскости, и от отсутствия общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости. Признак позволяет доказывать отсутствие общих точек не по виду чертежа, а через уже установленную параллельность прямых. Условие «не лежит в плоскости» обязательно.

Как это устроено

Для прямой и плоскости возможны три положения: прямая лежит в плоскости, пересекает её или параллельна ей. Они различаются числом общих точек: бесконечно много, одна или ни одной. Других вариантов нет, потому что общие точки прямой и плоскости либо составляют всю прямую, либо только одну точку, либо отсутствуют.

Изображение в учебной задаче — плоская проекция пространственных объектов, а сама плоскость обычно показана только ограниченной областью. Поэтому прямая может казаться непересекающей плоскость, хотя на продолжении у них есть общая точка. Чтобы доказать параллельность, установите отсутствие общих точек логически; обычно для этого используют признак.

Признак связан с тем, что две параллельные прямые имеют одинаковое направление. Если одна из них лежит в плоскости, а вторая не принадлежит ей, вторая не может пересечь плоскость: точка пересечения привела бы к тому, что через эту точку в плоскости проходили бы две различные прямые одного направления. Это противоречит единственности прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку. Так обосновывают признак.

Применяя признак, сначала выберите прямую, о которой известно, что она лежит в нужной плоскости. Затем докажите, что она параллельна исходной прямой, например по свойствам параллелограмма или по теореме о средней линии треугольника. Наконец, проверьте, что исходная прямая не лежит в плоскости; без этой проверки вывод по признаку делать нельзя.

На пространственном чертеже линии могут пересекаться на бумаге, хотя в пространстве они не имеют общей точки: так изображают, например, скрещивающиеся прямые, то есть прямые, не лежащие в одной плоскости. Проверяйте, принадлежат ли линии одной плоскости и подтверждается ли пересечение заданными точками или свойствами фигуры. Если точка пересечения не задана и принадлежность одной плоскости не установлена, одного рисунка для вывода недостаточно.

Взаимное расположение прямой и плоскости

Сначала определите, сколько общих точек у прямой и плоскости, а затем подберите подходящее обоснование. Для параллельности чаще всего используют последнюю строку таблицы: находят прямую в плоскости, параллельную данной, и проверяют дополнительное условие.

Разбор задач

Задача 1. Прямая a не лежит в плоскости α и параллельна прямой b, лежащей в α. Определите взаимное расположение a и α.

1. По условию b лежит в α, а a ∥ b. Значит, найдена прямая плоскости, параллельная a.
2. Условие также сообщает, что a не лежит в α. Следовательно, выполнены оба условия признака параллельности прямой и плоскости.
3. Применяем признак: прямая a параллельна плоскости α.

Ответ: a ∥ α.

Задача 2. В тетраэдре ABCD точки M и N — середины AB и AC. Докажите, что MN параллельна плоскости BCD.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Точки M и N — середины двух его сторон, поэтому MN — средняя линия треугольника и MN ∥ BC.
2. Прямая BC лежит в плоскости BCD. Осталось убедиться, что MN не лежит в этой плоскости: M и N находятся на рёбрах AB и AC, а плоскость ABC пересекает BCD по BC; средняя линия MN, параллельная BC, не совпадает с BC.
3. По признаку параллельности, поскольку MN параллельна прямой BC плоскости BCD и сама в этой плоскости не лежит, MN ∥ (BCD).

Ответ: MN параллельна плоскости BCD.

Задача 3. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ докажите, что AC параллельна плоскости A₁B₁C₁D₁.

1. Сопоставим нижнее и верхнее основания параллелепипеда. Они параллельны и равны, поэтому соответствующие диагонали AC и A₁C₁ параллельны.
2. Прямая A₁C₁ лежит в плоскости A₁B₁C₁D₁. Прямая AC проходит в нижнем основании и не лежит в верхнем: основания параллельны и различны.
3. Теперь выполнены условия признака: AC не лежит в верхнем основании и параллельна лежащей в нём прямой A₁C₁. Значит, AC параллельна плоскости A₁B₁C₁D₁.

Ответ: AC ∥ (A₁B₁C₁D₁).

Типичные ошибки

Считать прямую параллельной плоскости, если на рисунке она не пересекает изображённую область, — ненадёжно: плоскость продолжается за пределы картинки, а изображение не доказывает отсутствие общих точек. Так ошибаются, принимая схему за точную пространственную модель. Проверьте, есть ли доказательство, например применение признака.

Иногда не проверяют, что прямая не лежит в плоскости. Тогда найденная параллельная прямая может совпадать с исходной или исходная прямая может целиком находиться в плоскости. Перед применением признака отдельно установите, что исходная прямая не принадлежит плоскости.

Если в доказательстве сказано только «по признаку», но не указана прямая плоскости, рассуждение неполно. Часто нужную прямую принимают за очевидную и не называют. Проверьте, указано ли, какая именно прямая лежит в плоскости и почему она параллельна рассматриваемой.

Пересечение линий на рисунке можно ошибочно принять за пересечение в пространстве. Это происходит потому, что объёмные фигуры изображают на плоскости, и проекции разных объектов могут накладываться. Уточните, принадлежат ли линии одной плоскости и задана ли общая точка; без этого рисунок сам по себе ничего не доказывает.

Связь с другими темами

Перед изучением темы полезно знать, что означают параллельные прямые и как задают плоскость, например тремя точками, не лежащими на одной прямой. В доказательствах часто нужны свойства параллельных прямых и теорема о средней линии треугольника. Далее эта тема помогает исследовать взаимное расположение плоскостей, строить сечения многогранников и решать задачи стереометрии.

Что запомнить

• Прямая параллельна плоскости, если они не имеют общих точек.
• Прямая, лежащая в плоскости, не считается параллельной этой плоскости.
• Прямая может лежать в плоскости, пересекать её или быть ей параллельной.
• Чтобы применить признак, нужно найти в плоскости прямую, параллельную данной.
• Если прямая не лежит в плоскости и параллельна прямой этой плоскости, то она параллельна плоскости.