§ 36. Параллельность прямых в пространстве

Определения и обозначения

Параллельные прямые в пространстве — две различные прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек. Иначе говоря, у них одно направление, но они не пересекаются и не совпадают. Это определение позволяет отличить параллельность от простого отсутствия пересечения.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Их можно встретить, например, на разных гранях куба. Это понятие нужно, чтобы описывать пары прямых, которые в пространстве не подходят ни под пересечение, ни под параллельность.

Пересекающиеся прямые — прямые, имеющие ровно одну общую точку. Через две такие прямые можно провести единственную плоскость. Проверка общей точки помогает отличить пересечение от остальных случаев взаимного расположения.

Совпадающие прямые — прямые, у которых совпадают все точки. Они лежат в одной плоскости и имеют бесконечно много общих точек, поэтому это не две различные параллельные прямые. Такое уточнение не даёт ошибочно принять совпадение за параллельность.

Как это устроено

На плоскости две прямые либо пересекаются, либо параллельны, если не считать совпадения. В пространстве появляется ещё одна возможность: прямые не пересекаются, но и общей плоскости у них нет. Такие прямые скрещиваются, поэтому по одному только отсутствию общей точки определить параллельность нельзя. Сначала нужно выяснить, можно ли поместить обе прямые в одну плоскость.

В определении параллельности нужны сразу два условия: прямые должны быть компланарны, то есть лежать в одной плоскости, и не иметь общих точек. Если опустить первое условие, к параллельным ошибочно отнесут скрещивающиеся прямые. Если опустить второе, в определение попадут пересекающиеся и совпадающие прямые. Только вместе условия выделяют нужное положение двух различных прямых.

Чтобы установить, что прямые скрещиваются, недостаточно проверить, что они не пересекаются. Нужно также исключить общую плоскость: можно использовать известные плоскости фигуры и их пересечения, а затем показать, что предполагаемая плоскость не может содержать обе прямые. Например, если одна прямая пересекает две плоскости в разных точках, а другая лежит в одной из них и проходит через точку, несовместимую с предполагаемой общей плоскостью, получается противоречие. Так доказываются оба признака скрещивания.

Если a ∥ b и c ∥ b, то прямые a и c имеют одно направление. Если a и c различны, они не могут пересекаться: через точку пересечения проходили бы две прямые одного направления, а такие прямые совпали бы. Кроме того, две различные прямые одного направления лежат в одной плоскости, поэтому a ∥ c. Если же a и c совпадают, это совпадающие прямые, а не параллельные.

При работе с пространственными фигурами полезно искать прямую-посредника. Если каждая из двух прямых параллельна одной и той же прямой, по свойству параллельности можно установить связь между ними. Посредником часто становится ребро куба или призмы, для которого направление легко увидеть на грани. Но перед выводом нужно проверить, что рассматриваемые прямые различны: совпадающие прямые не называют параллельными.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пользуйся таблицей в два этапа: сначала выясни число общих точек, затем проверь, лежат ли прямые в одной плоскости. Если общих точек нет, именно второй шаг различает параллельные и скрещивающиеся прямые. При бесконечном числе общих точек прямые совпадают.

Разбор задач

Прямые AB и CD в кубе

Условие. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ определите, как расположены прямые AB и CD. Сначала важно найти плоскость, в которой находятся обе прямые. Затем нужно проверить, есть ли у них общая точка.

1. Вершины A, B, C и D образуют основание куба, поэтому прямые AB и CD лежат в одной плоскости.
2. AB и CD — противоположные стороны квадрата ABCD. Противоположные стороны квадрата не пересекаются и являются различными.
3. Значит, прямые компланарны и не имеют общих точек. По определению они параллельны.

Ответ: AB ∥ CD.

Прямые AB и CC₁ в кубе

Условие. В том же кубе определите взаимное расположение прямых AB и CC₁. Если прямые не пересекаются, этого ещё недостаточно для ответа: надо проверить, можно ли провести через них одну плоскость.

1. AB лежит в плоскости основания ABCD, а CC₁ пересекает эту плоскость только в точке C. Точка C не принадлежит AB, следовательно, прямые не пересекаются.
2. Предположим, что через AB и CC₁ можно провести плоскость. Она содержит точки C и C₁, поэтому содержит прямую CC₁; вместе с точкой B эта плоскость содержит и прямую BC.
3. Прямые BC и CC₁ задают плоскость боковой грани BCC₁B₁. В ней нет точки A, значит, в ней не может лежать AB. Получили противоречие предположению об общей плоскости.

Ответ: AB и CC₁ скрещиваются.

Параллельность через третью прямую

Условие. Прямые a и b параллельны, прямые b и c параллельны. Докажите, что a и c параллельны. В решении нужно обосновать не только одинаковое направление, но и отсутствие пересечения.

1. Из a ∥ b и b ∥ c следует, что a и c имеют одно направление. Если они пересекутся, через точку пересечения пройдут две прямые одного направления.
2. Через одну точку в данном направлении проходит только одна прямая. Значит, при пересечении a и c совпали бы, а тогда это были бы не две различные прямые.
3. Если a и c различны, они не пересекаются и лежат в одной плоскости: две различные прямые одного направления всегда компланарны. Следовательно, они параллельны.

Ответ: a ∥ c, если a и c различны; если они совпадают, то это совпадающие прямые.

Типичные ошибки

Ошибка: считать параллельными любые непересекающиеся прямые. Её допускают, перенося правило с плоскости, где других непересекающихся прямых нет. В пространстве прямые могут оказаться скрещивающимися. Проверь себя: можешь ли ты указать плоскость, содержащую обе прямые?

Ошибка: называть прямые скрещивающимися только потому, что они не пересекаются. Это половина доказательства, потому что параллельные прямые тоже не имеют общих точек. Чтобы вывод был полным, нужно исключить общую плоскость. Проверь себя: доказана ли некомпланарность, а не только отсутствие пересечения?

Ошибка: забывать, что в определении параллельных прямых речь идёт о двух различных прямых. Так совпадение можно принять за частный случай параллельности, хотя совпадающие прямые имеют все точки общими. Проверь, есть ли хотя бы одна точка одной прямой, не принадлежащая другой: если нет, прямые совпадают.

Ошибка: переносить свойство плоской геометрии на пространственную фигуру, не проверив компланарность. На рисунке прямые могут выглядеть параллельными из-за перспективы, хотя находятся в разных плоскостях. Проверяй принадлежность прямых граням и ищи доказательство общей плоскости. Если его нет, утверждать параллельность рано.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое плоскость и как точка или прямая может ей принадлежать. Пригодится и взаимное расположение прямых на плоскости: в частности, свойства параллельных прямых. Понятие скрещивания расширяет эти знания для пространства, где непересекающиеся прямые могут не иметь общей плоскости. Оно потребуется при изучении взаимного расположения прямых и плоскостей в стереометрии.

Свойства параллельных прямых помогают доказывать отношения между рёбрами и диагоналями пространственных фигур. В призме и параллелепипеде можно находить общие направления и использовать прямую-посредника. Умение различать параллельные и скрещивающиеся прямые помогает не делать выводы только по внешнему виду фигуры.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Непересекающиеся прямые в пространстве не обязательно параллельны.
• Скрещивающиеся прямые некомпланарны и не имеют общих точек.
• Совпадающие прямые не являются различными параллельными прямыми.
• Если две различные прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу.
• Перед выводом о параллельности всегда проверяй, что прямые лежат в одной плоскости.