§ 35. Пространственные фигуры

Определения и обозначения

Пространственная фигура — геометрический объект, расположенный в пространстве. В отличие от плоской фигуры, которая целиком лежит в одной плоскости, пространственная может иметь длину, ширину и высоту. Это понятие нужно, чтобы описывать объёмные объекты, например куб, шар или конус.

Многогранник — тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, отрезки их встречи — рёбрами, а точки соединения рёбер — вершинами. Названия элементов помогают точно описывать устройство многогранника и считать его части.

Поверхность тела — граница, отделяющая тело от окружающего пространства. Например, поверхность куба состоит из шести квадратов, но сам куб включает также всё пространство внутри них. Различие нужно, чтобы не путать оболочку тела с самим объёмным объектом.

Тело вращения — пространственная фигура, полученная при вращении плоской фигуры вокруг прямой. Прямая, вокруг которой происходит вращение, называется осью вращения. Она необходима для описания способа получения тела: при разных осях одна и та же плоская фигура может образовать разные тела.

Как это устроено

Плоские фигуры могут становиться частями пространственных объектов. Если соединить многоугольники так, чтобы их стороны совпадали попарно, они образуют грани многогранника; например, из квадратов складывается поверхность куба. Окружности и другие линии могут задавать границы кривых поверхностей, поэтому не всякая поверхность составлена из многоугольников. Так плоские фигуры и линии помогают представить устройство трёхмерного объекта.

Чтобы описать многогранник, перечисляют его грани, рёбра и вершины: каждый вид элементов сообщает отдельную часть информации о форме. Грани показывают, из каких многоугольников составлена поверхность, рёбра — где эти многоугольники соприкасаются, а вершины — как соединяются рёбра. Элементы связаны: каждое ребро принадлежит двум граням и соединяет две вершины. Если перечислить их все, легче представить строение фигуры и обнаружить, например, пропущенную грань на чертеже.

Тело и его поверхность различают по тому, рассматриваем ли мы только границу или ещё и внутреннюю часть. У куба тело занимает пространство, а его граница состоит из шести квадратных граней; если оставить только грани, получится поверхность куба. Такое различие важно, потому что площадь относится к поверхности, а объём характеризует пространство, занимаемое телом. Поэтому в задаче нужно сначала понять, о какой части объекта идёт речь.

При вращении плоской фигуры каждая её точка движется по окружности вокруг выбранной прямой, и вместе эти движения образуют пространственное тело. Если прямоугольник вращать вокруг одной из сторон, эта сторона станет осью, а противоположная сторона опишет окружность; получится цилиндр. Если вокруг катета вращать прямоугольный треугольник, другой катет опишет круг, а гипотенуза — боковую поверхность конуса. Прямая вращения задаёт, как именно плоская фигура заполняет пространство.

Многогранники и тела вращения различают по устройству их поверхностей. У многогранника границы — плоские многоугольники, поэтому на поверхности выделяются грани, рёбра и вершины. У цилиндра или конуса есть криволинейные части, так что их поверхность нельзя целиком описать как набор многоугольных граней. Это различие помогает классифицировать фигуру и выбирать подходящий способ её описания.

Основные пространственные фигуры и их элементы

Сначала найдите, из каких частей составлена поверхность, а затем назовите характерные элементы. Призма и пирамида являются многогранниками, а цилиндр — телом вращения. Сравнение строк помогает не смешивать тип фигуры с её отдельными элементами.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие из фигур являются пространственными, а какие — плоскими: треугольник, куб, окружность, конус. Чтобы классифицировать их, проверим, лежит ли каждая фигура в одной плоскости и занимает ли объём. При этом окружность — линия, а не круг: она тоже целиком лежит в плоскости. Различать эти объекты нужно по их геометрическому устройству, а не по тому, как они нарисованы на листе.

1. Треугольник лежит в одной плоскости, значит, он плоский.
2. Куб имеет три измерения и занимает объём, значит, он пространственный.
3. Окружность лежит в плоскости, поэтому она плоская.
4. Конус занимает объём и имеет пространственную форму.

Ответ: пространственные фигуры — куб и конус; плоские — треугольник и окружность.

Задача 2. Подсчитайте число граней, рёбер и вершин прямоугольного параллелепипеда. Представим его как коробку с шестью прямоугольными сторонами. Каждая грань встречается с соседними по рёбрам, а рёбра сходятся в углах; считать элементы удобнее по группам, чтобы не пропустить заднюю часть фигуры.

1. Грани: верхняя и нижняя, передняя и задняя, левая и правая — всего 6.
2. Рёбра: по 4 у верхнего и нижнего прямоугольников и ещё 4 соединяют их, всего 4 + 4 + 4 = 12.
3. Вершины: у верхнего и нижнего прямоугольников по 4 угла, всего 4 + 4 = 8.
4. Проверим: у каждой грани четыре ребра, но каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому 6 · 4 ÷ 2 = 12.

Ответ: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.

Задача 3. Прямоугольник вращают вокруг одной из его сторон. Определите получившееся тело и опишите его поверхность. Сторона, вокруг которой выполняется вращение, задаёт ось и становится высотой будущего тела. Противоположная сторона движется по кругу, а остальные точки прямоугольника заполняют пространство между осью и окружностью.

1. Обозначим сторону вращения как ось цилиндра.
2. Противоположная ей сторона описывает окружность, поэтому возникает круглая поверхность-основание.
3. Две стороны прямоугольника, перпендикулярные оси, образуют два равных круглых основания.
4. Четвёртая сторона при вращении образует боковую криволинейную поверхность.

Ответ: получается цилиндр; его поверхность состоит из двух круглых оснований и боковой криволинейной части.

Типичные ошибки

Считать поверхность самим телом. Поверхность — только граница, но в разговоре о фигуре часто представляют её как цельный объект. Проверьте себя: если речь идёт о пространстве внутри границы, рассматривается тело; если только об оболочке — поверхность.

Путать ребро и грань. Ребро — отрезок, а грань — многоугольник; путаница возникает, когда на чертеже элементы изображены рядом. Проверка простая: грань имеет площадь, а ребро является её стороной и местом встречи двух граней.

Называть любой объёмный объект многогранником. Так происходит, если ориентироваться только на то, что фигура занимает объём. Осмотрите поверхность: если в ней есть криволинейная часть, как у цилиндра, это не многогранник.

Описывать тело вращения без указания прямой вращения. В таком описании неясно, какое движение выполняла плоская фигура, а значит, способ получения тела задан не полностью. Проверьте себя: назовите и саму фигуру, и прямую, вокруг которой её вращают; для прямоугольника разные стороны дают разные размеры цилиндра.

Связь с другими темами

Для изучения пространственных фигур нужны знания о плоских фигурах: их сторонах, вершинах и свойствах многоугольников. Также пригодятся понятия прямой, отрезка и угла, а при работе с моделями и чертежами — навык распознавать фигуры в разных положениях. Эти знания помогают перейти от описания формы к вычислению площадей поверхностей и объёмов тел. Поэтому геометрические элементы, изученные на плоскости, становятся основой стереометрии.

Что запомнить

• Пространственная фигура расположена в пространстве, а плоская — в одной плоскости.
• Многогранник ограничен многоугольными гранями.
• Грани многогранника встречаются по рёбрам, а рёбра соединяются в вершинах.
• Поверхность тела отделяет тело от окружающего пространства.
• Тело вращения получают вращением плоской фигуры вокруг прямой.
• У пространственного тела можно изучать форму, элементы и занимаемый им объём.