§ 34. Основные понятия стереометрии

Определения и обозначения

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. В отличие от планиметрии, которая рассматривает фигуры на плоскости, она помогает описывать объёмные тела и расположение объектов в трёх измерениях. Например, при изучении куба важно учитывать не только его грани, но и то, как расположены в пространстве его рёбра и вершины.

Точка — основная геометрическая фигура, у которой нет размеров. Её обозначают заглавной латинской буквой: A, B, C. Точками отмечают положения объектов или их части, например вершины многогранника; сами буквы позволяют различать эти положения в чертеже и рассуждении.

Прямая — основная геометрическая фигура, бесконечная в обе стороны. Её обычно обозначают строчной латинской буквой, например l или a, а иногда — двумя заглавными буквами точек, через которые она проходит. Прямая служит моделью направления и помогает описывать взаимное расположение точек и других фигур.

Плоскость — основная геометрическая фигура, бесконечная во всех направлениях. Её обозначают греческой буквой, например α, или тремя заглавными буквами точек, не лежащих на одной прямой: плоскость ABC. Это обозначение позволяет указать, о какой именно плоскости идёт речь, когда в задаче их несколько.

Как это устроено

Точку, прямую и плоскость называют исходными понятиями, потому что через более простые геометрические слова их определить нельзя. Если пытаться определить каждое понятие через другое, придётся продолжать объяснения без конца или вернуться к уже объясняемому слову. Поэтому свойства этих объектов принимают как исходные правила — аксиомы, а остальные утверждения доказывают на их основе.

Плоскость бесконечна, но на рисунке её изображают ограниченным параллелограммом или другой условной областью. Такой способ удобен: на листе бумаги нельзя показать бесконечную поверхность целиком, а ограниченная фигура наглядно обозначает её часть. Края параллелограмма не являются настоящими границами плоскости, поэтому нельзя заключать, будто за ними плоскость заканчивается.

Для записи принадлежности используют символ ∈, а для непринадлежности — ∉. Например, A ∈ l означает, что точка A лежит на прямой l, а A ∉ l — что она на ней не лежит; так же записывают отношения точки и плоскости. Важно различать типы объектов: точка принадлежит прямой или плоскости, тогда как прямая может целиком лежать в плоскости.

Аксиома о трёх точках утверждает: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Условие о неколлинеарности существенно: точки на одной прямой не задают одну-единственную плоскость. Другая аксиома говорит, что если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней; прямая не может покинуть плоскость между этими точками или за их пределами.

Через прямую и точку вне неё проходит единственная плоскость. Чтобы увидеть связь с предыдущими аксиомами, выберем на прямой две точки: вместе с точкой вне прямой они не лежат на одной прямой, поэтому задают единственную плоскость. По аксиоме о двух точках прямой вся прямая окажется в этой плоскости, а значит, плоскость содержит и прямую, и заданную точку.

Основные объекты и отношения в стереометрии

Сначала определите, какие объекты рассматриваются, затем прочитайте обозначения отношений: символ ∈ связывает точку с прямой или плоскостью. Свойства из последнего столбца подсказывают, какую аксиому применить в задаче. Если условие об аксиоме не выполнено, делать вывод только по похожей записи нельзя.

Разбор задач

Задача 1

Даны точки A и B. Запишите обозначение прямой, проходящей через них, и поясните, единственна ли такая прямая. Нужно определить, какие объекты задают точки, а затем применить аксиому о прямой. В условии не требуется строить прямую или измерять расстояние между точками.

1. Две различные точки A и B задают прямую, которую обозначают AB.
2. По аксиоме через любые две точки проходит единственная прямая.
3. Значит, другой прямой, проходящей одновременно через A и B, быть не может.

Ответ: прямая AB; такая прямая единственна. Если точки совпадают, условие о двух точках здесь не выполняется, поэтому подразумевается, что A и B различны.

Задача 2

Точки A и B принадлежат плоскости α, а прямая l проходит через A и B. Определите, лежит ли l в плоскости α. На первый взгляд может показаться, что двух точек недостаточно, чтобы судить обо всех точках прямой. Здесь как раз применяется аксиома, связывающая две точки прямой с плоскостью.

1. Из условия имеем A ∈ α и B ∈ α, причём обе точки лежат на прямой l.
2. Проверяем условие аксиомы: две точки одной прямой принадлежат одной плоскости.
3. По аксиоме вся прямая l лежит в плоскости α, а не только её отрезок AB.

Ответ: да, прямая l целиком лежит в плоскости α. Вывод следует из аксиомы и не зависит от того, как линия выглядит на чертеже.

Задача 3

Три точки A, B и C не лежат на одной прямой. Сколько плоскостей можно провести через них? Что изменится, если точки окажутся на одной прямой? В первом случае дано именно условие аксиомы о плоскости через три точки. Во втором случае его нужно проверить заново: совпадение точек на одной прямой не задаёт единственную плоскость.

1. Поскольку A, B и C неколлинеарны, по аксиоме через них проходит ровно одна плоскость ABC.
2. Если все три точки лежат на одной прямой, аксиому о трёх неколлинеарных точках применить нельзя.
3. Через эту прямую можно провести различные плоскости, поэтому единственность уже не следует; плоскостей будет бесконечно много.

Ответ: через три не лежащие на одной прямой точки проходит одна плоскость. Если точки лежат на одной прямой, через неё можно провести бесконечно много плоскостей.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что изображённая плоскость ограничена краями параллелограмма. Так происходит потому, что на листе виден только конечный рисунок, хотя плоскость бесконечна. Проверьте себя: края параллелограмма служат условным обозначением, а не границей объекта.

Не следует путать принадлежность точки прямой с принадлежностью прямой плоскости. В первом случае речь идёт о точке и прямой, во втором — о прямой и плоскости, причём прямая может целиком лежать в плоскости. Чтобы проверить запись, назовите объекты вслух и убедитесь, что формулировка описывает именно их отношение.

Неверно утверждать, что через любые три точки проходит единственная плоскость. Условие о трёх точках работает только тогда, когда они не лежат на одной прямой; обычно ошибку допускают, забыв проверить это уточнение. Перед применением аксиомы установите, коллинеарны ли точки.

Нельзя обосновывать взаимное расположение объектов только тем, как они нарисованы. Пространственный чертёж условен: например, пересекающиеся на рисунке линии могут обозначать иные отношения в пространстве. Проверяйте вывод по условию задачи и подходящей аксиоме, а рисунок используйте для наглядности.

Связь с другими темами

Для стереометрии нужны знакомые по планиметрии понятия точки и прямой, а также умение читать обозначения геометрических объектов. Эти знания помогают перейти от рассуждений на плоскости к объектам пространства, не меняя привычных правил записи. Новыми становятся прежде всего вопросы о том, как прямые и плоскости расположены друг относительно друга.

Аксиомы стереометрии служат основанием для доказательств о прямых и плоскостях. Позже те же рассуждения пригодятся при изучении многогранников и тел вращения: их элементы расположены в пространстве и подчиняются этим правилам. Поэтому аксиомы нужны не только для начальных задач, но и для обоснования свойств более сложных фигур.

Что запомнить

• Стереометрия изучает фигуры в пространстве.
• Точка, прямая и плоскость — основные понятия стереометрии.
• Через любые две точки проходит единственная прямая.
• Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
• Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
• Чертёж плоскости изображает лишь её часть.