§ 2. Основные понятия стереометрии

Определения и обозначения

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. В планиметрии рассматривают фигуры на одной плоскости, а в стереометрии учитывают ещё и третье измерение — высоту. Это различие нужно, чтобы описывать куб, шар, пирамиду и взаимное расположение пространственных объектов.

Точка, прямая и плоскость — основные геометрические объекты, которые принимают без определения. Точку обозначают большой латинской буквой A, прямую — малой буквой a или двумя точками AB, плоскость — греческой буквой α. На чертеже точку изображают точкой, прямую — линией, а плоскость — частью параллелограмма.

Принадлежность записывают так: A ∈ a означает, что точка A лежит на прямой a, а B ∈ α — что точка B принадлежит плоскости α. Записи C ∉ a и D ∉ α означают, что точки не лежат на данной прямой или в данной плоскости. Такие обозначения кратко фиксируют пространственные отношения.

Компланарные точки — точки, принадлежащие одной плоскости. Любые три точки являются компланарными, но четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Понятие помогает отличать обычную совокупность точек от набора, положение которого можно описать одной плоскостью.

Как это устроено

В планиметрии и стереометрии начинают с основных объектов и исходных свойств, потому что любое строгое объяснение должно иметь начальную точку. Если каждое утверждение доказывать через предыдущее, получится бесконечная цепочка без основания. Поэтому точку, прямую и плоскость не определяют через более простые понятия, а их базовые свойства формулируют как аксиомы.

Аксиома утверждает: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость. Неколлинеарность нужна потому, что три точки на одной прямой не определяют положение плоскости: через эту прямую можно провести много плоскостей. Три неколлинеарные точки задают плоскость однозначно, поэтому по ним можно определить, где именно она расположена.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, вся прямая лежит в этой плоскости. Причина в том, что через две данные точки проходит единственная прямая, а плоскость содержит эту прямую как линию, соединяющую свои точки. Одной общей точки недостаточно: через неё прямая может проходить в разных направлениях и выходить из плоскости.

Две различные плоскости не могут иметь только одну общую точку: если такая точка есть, их общие элементы образуют прямую. Все точки этой прямой принадлежат обеим плоскостям, а других общих точек нет. Поэтому плоскость можно задать тремя неколлинеарными точками, прямой и точкой, не лежащей на ней, или двумя пересекающимися прямыми: во всех случаях положение определяется однозначно.

Основные аксиомы стереометрии

В таблице условие показывает, какие объекты уже известны, а вывод — какое свойство из него следует. При решении задач сначала найдите подходящую строку, затем сопоставьте её условие с данными. Это помогает не подменять аксиому впечатлением от чертежа.

Разбор задач

Задача 1

Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Требуется определить число плоскостей, проходящих через них. Ключевое условие — неколлинеарность, поэтому три точки действительно задают плоскость.

1. Проверяем условие: точки A, B и C не лежат на одной прямой.
2. Применяем аксиому о трёх неколлинеарных точках.
3. По аксиоме через эти точки проходит ровно одна плоскость.

Ответ: можно провести одну плоскость.

Задача 2

Точки A и B принадлежат плоскости α, а прямая AB проходит через обе эти точки. Нужно установить положение всей прямой, а не только её концов. Здесь непосредственно подходит аксиома о двух точках прямой.

1. Выделяем прямую AB и две её точки A и B.
2. Замечаем, что обе точки принадлежат плоскости α.
3. По аксиоме заключаем, что все точки прямой AB принадлежат плоскости α.

Ответ: прямая AB целиком лежит в плоскости α, то есть AB ⊂ α.

Задача 3

Различные плоскости α и β имеют общую точку A. Нужно доказать существование общей прямой и указать принадлежность её точек. Наличие общей точки означает, что плоскости не параллельны и применима аксиома об их пересечении.

1. По аксиоме плоскости α и β пересекаются по некоторой прямой c.
2. Так как A — общая точка плоскостей, она принадлежит их общей части, значит A ∈ c.
3. Любая точка X прямой c принадлежит одновременно α и β: X ∈ α и X ∈ β.

Ответ: через A проходит общая прямая c = α ∩ β; все её точки принадлежат обеим плоскостям.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что любые три точки задают плоскость. Три точки могут лежать на одной прямой, и тогда плоскостей через эту прямую бесконечно много. Проверьте, сказано ли в условии, что точки неколлинеарны.

Ошибка: делать вывод о всей прямой по одной точке, лежащей в плоскости. Одна точка не фиксирует направление прямой, поэтому она может частично выходить из плоскости. Для применения аксиомы найдите две точки данной прямой в плоскости.

Ошибка: полагать, что две плоскости пересекаются в одной точке. В стереометрии при общей точке их пересечение — прямая, содержащая бесконечно много общих точек. Проверьте, не пропущена ли в рассуждении аксиома о пересечении плоскостей.

Ошибка: принимать рисунок за доказательство пространственного факта. Неудачный ракурс может скрыть пересечение или создать ложное впечатление о параллельности. Проверяйте вывод по условию, определениям и аксиомам.

Связь с другими темами

Перед изучением стереометрии нужны планиметрические понятия точки, прямой, плоскости, принадлежности и пересечения фигур. Без них трудно читать записи вроде A ∈ α и понимать смысл аксиом.

Аксиомы и способы задания плоскости станут основой следующих тем. С их помощью изучают взаимное расположение прямых и плоскостей, а также доказывают теоремы о пространственных фигурах.

Что запомнить

• Стереометрия изучает фигуры в пространстве.
• Точка, прямая и плоскость — основные объекты стереометрии.
• Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
• Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
• Пересечение двух различных плоскостей, имеющих общую точку, — прямая.
• Положение плоскости можно задать тремя неколлинеарными точками.