§ 77. Основные понятия стереометрии

Определения и обозначения

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий фигуры в пространстве. Планиметрия рассматривает фигуры на плоскости, а стереометрия позволяет изучать, например, объёмные тела и расположение объектов относительно друг друга. Поэтому в стереометрии приходится учитывать не только длины и углы, но и то, что фигуры могут находиться на разной глубине.

Пространство — среда, в которой рассматривают геометрические фигуры. На плоскости точки и прямые расположены в одном плоском слое, а в пространстве точки могут находиться вне одной плоскости. Это различие помогает описывать объёмные фигуры и объясняет, почему плоский рисунок не всегда показывает их расположение полностью.

Плоскость — одно из основных понятий стереометрии. На рисунке её условно изображают как наклонённый параллелограмм, хотя сама плоскость бесконечна и не имеет краёв. Плоскость обозначают греческой буквой, например α, или тремя заглавными буквами, если указаны точки, которые её задают.

Точка и прямая в пространстве — знакомые из планиметрии понятия: точку обозначают заглавной буквой, а прямую — строчной или двумя точками на ней, например AB. Точка может принадлежать плоскости или не принадлежать ей; это записывают как A ∈ α или A ∉ α. Прямая тоже может лежать в плоскости целиком либо не лежать в ней, поэтому важно различать принадлежность точки и расположение всей прямой.

Как это устроено

Стереометрией называют геометрию пространства, потому что её предмет — фигуры, которые могут иметь длину, ширину и высоту. Куб, например, не удаётся полностью описать только как фигуру на плоскости: нужно учитывать его грани и то, как они расположены друг относительно друга. Именно поэтому стереометрия расширяет представления планиметрии и помогает исследовать объёмные тела.

Пространственные фигуры приходится изображать на плоском листе, потому что рисунок делается на поверхности бумаги или экрана. При таком изображении часть рёбер может выглядеть короче или иначе наклонённой, чем в самой фигуре. Значит, рисунок служит подсказкой для воображения, но его вид не всегда точно передаёт взаимное расположение объектов; выводы лучше обосновывать геометрическими правилами.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость. Три такие точки задают направление и положение плоскости без неоднозначности. Если же точки лежат на одной прямой, эта прямая может принадлежать множеству плоскостей, поэтому выбрать одну плоскость только по этим точкам нельзя.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая лежит в ней. Через две разные точки проходит одна прямая, и плоскость, содержащая эти точки, содержит также соединяющую их прямую. Это правило позволяет перейти от сведений о двух точках к выводу о положении целого объекта.

Если две разные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Одна точка показывает, что плоскости не расположены отдельно, а правило о пересечении задаёт линию их общей части. Поэтому точка, принадлежащая обеим плоскостям, лежит на линии пересечения, но сама по себе не является всей этой линией.

Основные объекты стереометрии и их взаимное расположение

В таблице собраны обозначения и правила, которые помогают описывать фигуры в пространстве. Сначала определяй, о каком объекте говорится, затем выбирай соответствующее обозначение или правило. Так легче не перепутать принадлежность точки плоскости с расположением прямой.

Разбор задач

На рисунке отмечены точки A и B, принадлежащие плоскости α. Как расположена прямая AB относительно плоскости α?

1. Рассматриваем не только точки, но и прямую, которая через них проходит.
2. Точки A и B лежат на прямой AB и принадлежат плоскости α.
3. Применяем правило: если две точки прямой лежат в плоскости, то вся эта прямая лежит в ней.

Ответ: прямая AB лежит в плоскости α. Вывод следует из положения двух точек и не зависит от того, как линия выглядит на рисунке.

Три точки A, B и C не лежат на одной прямой. Сколько плоскостей можно провести через них?

1. Проверяем условие задачи: точки неколлинеарны, то есть не расположены на одной прямой.
2. Вспоминаем правило: через три такие точки проходит единственная плоскость.
3. Значит, других плоскостей, проходящих через все три точки, быть не может.

Ответ: через точки A, B и C можно провести одну плоскость. Условие о расположении точек здесь необходимо: без него правило не гарантирует единственность.

Две плоскости α и β имеют общую точку A. Что можно утверждать об их пересечении и как обозначить линию пересечения?

1. Общая точка означает, что плоскости не расположены отдельно друг от друга.
2. По правилу о пересечении двух разных плоскостей их общая часть является прямой.
3. Обозначим эту прямую, например, буквой l; тогда A лежит на l, а l принадлежит обеим плоскостям.

Ответ: плоскости α и β пересекаются по прямой l, проходящей через A. Точка A — только одна точка этой прямой, а не всё пересечение.

Типичные ошибки

• Считать, что любые три точки задают единственную плоскость. Такое рассуждение не учитывает случай, когда точки лежат на одной прямой: через эту прямую можно провести разные плоскости. Проверь себя: прежде чем применять правило, убедись, что точки неколлинеарны.

• Определять пространственное расположение фигур только по виду рисунка. На плоском изображении глубина передаётся условно, поэтому рёбра и точки могут казаться расположенными не так, как в пространстве. Проверь себя: найди геометрическое правило, которое подтверждает вывод, а не полагайся только на внешний вид.

• Считать одну общую точку двух плоскостей всем их пересечением. Плоскости могут иметь и другие общие точки, а их общая часть образует прямую. Проверь себя: если плоскости разные и имеют общую точку, укажи линию пересечения, проходящую через неё.

• Путать принадлежность точки плоскости с принадлежностью прямой плоскости. Запись о точке не всегда сама по себе означает, что в плоскости лежит целая прямая. Проверь себя: уточни, говорится ли о точке или о прямой, и для вывода о прямой используй две её точки.

Связь с другими темами

Перед изучением стереометрии полезно повторить обозначения точки и прямой, а также понять слова «принадлежит» и «пересекается» из планиметрии. В новой теме знакомые понятия применяются уже не только на плоскости, но и в пространстве. Основные правила о плоскостях и прямых станут опорой при изучении многогранников и взаимного расположения прямых и плоскостей. С их помощью решают задачи, где нужно установить, какие объекты имеют общие точки или целые линии.

Что запомнить

• Стереометрия изучает фигуры в пространстве.
• Плоскость — одно из основных понятий стереометрии.
• Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
• Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости.
• Если две разные плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой.
• Пространственный рисунок на листе является условным.