§ 76*. Полярные координаты

Определения и обозначения

Полярная система координат — способ задавать положение точки на плоскости с помощью полюса, полярной оси и единицы длины. Она нужна, чтобы описывать точку через её удалённость от выбранного центра и направление. Такой способ особенно удобен для окружностей и движений вокруг общего центра.

Полюс — фиксированная точка, от которой отсчитывают расстояние до заданной точки. Обычно его обозначают буквой O. Полюс служит началом отсчёта: без него нельзя понять, откуда измерять расстояние.

Полярная ось — луч с началом в полюсе, от которого отсчитывают угол. Она задаёт исходное направление, подобно начальной отметке на шкале. На чертеже полярную ось выбирают заранее.

Полярные координаты точки — расстояние от полюса и угол поворота от полярной оси до направления на точку. Их обычно обозначают как (r; φ), где r — расстояние, а φ — угол. Две величины нужны потому, что одного расстояния недостаточно: на одинаковом удалении от полюса может находиться много разных точек.

Как это устроено

Сначала задают полюс и полярную ось, потому что любое измерение требует начальной точки и начального направления. Полюс показывает, откуда вести отсчёт расстояний, а ось — откуда начинать отсчёт углов. Если изменить полюс или ось, изменится и запись координат той же самой точки.

Для определения точки нужны две величины: расстояние и направление. Одно расстояние задаёт окружность с центром в полюсе, а не одну точку. Один угол задаёт луч, но на этом луче бесконечно много точек, поэтому только вместе расстояние и угол однозначно указывают положение.

Чтобы построить точку (r; φ), сначала от полярной оси откладывают угол φ и проводят соответствующий луч. Затем от полюса по этому лучу откладывают отрезок длиной r. Такой порядок удобен: сначала выбирают нужное направление, а потом находят на нём место точки.

Если точка уже изображена, сначала соединяют её с полюсом и измеряют получившийся отрезок. Его длина является первой координатой r. Затем измеряют угол от полярной оси до луча, направленного из полюса к точке; этот угол становится второй координатой φ.

Одной точке могут соответствовать разные записи, потому что полный оборот возвращает луч в прежнее направление. Поэтому углы φ, φ + 360° и φ − 360° задают одну точку при том же расстоянии. Если допускаются отрицательные расстояния, то (−r; φ) означает движение на r единиц в противоположную сторону и совпадает с (r; φ + 180°).

Элементы полярных координат

Таблицу удобно читать как инструкцию: сначала найдите на чертеже полюс и полярную ось, а затем определите две координаты точки. Обозначение r всегда связано с расстоянием, а φ — с углом. Проверяйте, что расстояние измерено от O, а угол — именно от полярной оси.

Разбор задач

Задача 1

Условие: постройте точку с полярными координатами (3; 0°), если единичный отрезок равен 1 см.

1. Первое число 3 означает расстояние от полюса: 3 · 1 см = 3 см.
2. Угол 0° означает, что направление совпадает с полярной осью.
3. От полюса по полярной оси отложите 3 см и отметьте конец отрезка.

Ответ: искомая точка лежит на полярной оси в 3 см от полюса.

Задача 2

Условие: постройте точку с полярными координатами (4; 60°).

1. Число 60° задаёт направление, поэтому приложите транспортир центром к полюсу и совместите его нулевую отметку с полярной осью.
2. Отметьте угол 60° и проведите через полюс луч в этом направлении.
3. На новом луче отложите от полюса 4 единицы длины и обозначьте конец отрезка точкой.

Ответ: построена точка на расстоянии 4 единицы от полюса, направление на неё образует с полярной осью угол 60°.

Задача 3

Условие: точка A находится на расстоянии 5 единиц от полюса и образует с полярной осью угол 135°. Запишите её координаты и объясните, почему после добавления 360° получается та же точка.

1. Расстояние до точки даёт первую координату: r = 5.
2. Угол с полярной осью даёт вторую координату: φ = 135°.
3. Записываем координаты в установленном порядке: A(5; 135°).
4. После добавления 360° получаем угол 495°. Это один полный оборот сверх 135°, поэтому конечный луч снова направлен туда же.

Ответ: A(5; 135°), причём A(5; 495°) — та же точка.

Типичные ошибки

Меняют порядок координат. Ученик может записать сначала угол, потому что привык начинать с направления. Проверка простая: в записи (r; φ) первое число должно быть длиной, а второе — углом.

Откладывают угол от произвольного луча. Так происходит, если забыть, где находится начало отсчёта. Перед построением найдите полярную ось и убедитесь, что транспортир установлен именно относительно неё.

Откладывают расстояние не от полюса. Иногда длину измеряют от конца оси или от другой точки чертежа. Проверьте, что один конец отрезка находится в полюсе O, а другой — в построенной точке.

Считают, что у точки только одна запись. Это связано с привычкой к единственному адресу точки. Добавьте или вычтите 360° из угла: направление не изменится, значит, получится та же точка.

Связь с другими темами

Перед изучением полярных координат нужно уметь измерять и строить углы, пользоваться транспортиром и откладывать отрезки заданной длины. Эти навыки превращают запись координат в точное построение.

Полярные координаты связаны с декартовыми: обе системы задают положение точки на плоскости. В декартовой системе используют расстояния до двух перпендикулярных осей, а в полярной — расстояние от полюса и угол.

Полярная система пригодится при изучении движения по окружности и при описании точек, расположенных вокруг общего центра. Например, положение объекта можно задавать его удалённостью от центра и направлением движения.

Что запомнить

• Полюс — начало отсчёта расстояний.
• Полярная ось — начало отсчёта углов.
• Полярные координаты задают расстояние от полюса и направление на точку.
• При построении сначала задают направление, затем откладывают расстояние.
• Углы, отличающиеся на полный оборот, задают одно направление.