§ 75. Тригонометрические функции произвольного угла

Определения и обозначения

Пусть точка с координатами (x, y) лежит на конечной стороне угла α, а r — её расстояние до начала координат. Синусом угла называют число sin α = y/r. Он показывает, какую долю расстояния r составляет вертикальная координата точки.

Косинус угла определяют формулой cos α = x/r. Здесь x — горизонтальная координата точки, а r — расстояние до начала координат. Косинус помогает описать положение луча относительно горизонтальной оси.

Тангенс определяют как tg α = y/x, если x ≠ 0. Так как sin α = y/r и cos α = x/r, то tg α = sin α/cos α. Эта функция сравнивает вертикальную и горизонтальную координаты.

Котангенс определяют как ctg α = x/y, если y ≠ 0. Поэтому ctg α = cos α/sin α. Котангенс является обратным отношением к тангенсу, когда обе функции существуют.

Как это устроено

Чтобы выбрать точку на конечной стороне угла, проводят луч из начала координат в направлении этой стороны и отмечают на нём любую точку, кроме начала. Её расстояние до начала находят по теореме Пифагора: r = √(x² + y²). Затем координаты подставляют в формулы синуса и косинуса.

Выбор точки не меняет sin α и cos α, потому что все точки одного луча получаются друг из друга растяжением от начала координат. Если координаты умножить на одно и то же число, расстояние r умножится на это же число. Поэтому отношения y/r и x/r останутся прежними.

Знаки функций зависят от знаков координат. В I четверти x и y положительны, во II x отрицателен, а y положителен, в III обе координаты отрицательны, в IV x положителен, а y отрицателен. Значит, sin положителен в I и II четвертях, cos — в I и IV, а tg и ctg положительны в I и III.

Тангенс не определён, когда cos α = 0, ведь в формуле sin α/cos α появляется деление на ноль; это углы 90° + 180°k. Котангенс не определён при sin α = 0, то есть при α = 180°k. Причина та же: его знаменатель равен нулю.

Из r² = x² + y² и формул sin α = y/r, cos α = x/r получаем sin² α + cos² α = (y² + x²)/r² = 1. Поэтому по известному синусу можно найти квадрат косинуса: cos² α = 1 − sin² α, а затем выбрать знак по четверти. Аналогично находят синус, если известен косинус.

После поворота на 360° конечная сторона угла возвращается в прежнее положение, поэтому синус и косинус не меняются. Тангенс и котангенс повторяются уже через 180°, поскольку при таком повороте обе координаты меняют знаки, а их отношение остаётся прежним. Например, 750° можно заменить углом 30°, вычтя два полных оборота.

Основные свойства тригонометрических функций произвольного угла

В таблице k обозначает любое целое число. Для конкретного угла сначала определите, существует ли функция, затем найдите её знак и используйте подходящую формулу.

Период позволяет заменить большой угол меньшим, не меняя значения функции. У синуса и косинуса вычитают полные обороты, а у тангенса и котангенса — отрезки по 180°.

Разбор задач

Задача 1

Условие: точка A(3, 4) лежит на конечной стороне угла α. Найдите sin α и cos α.

1. Находим расстояние от A до начала координат: r = √(3² + 4²) = √25 = 5.
2. Подставляем координаты в определения: sin α = y/r = 4/5, cos α = x/r = 3/5.

Ответ: sin α = 4/5, cos α = 3/5.

Задача 2

Условие: угол α лежит во второй четверти, sin α = 3/5. Найдите cos α, tg α и ctg α.

1. По тождеству cos² α = 1 − sin² α = 1 − 9/25 = 16/25, значит |cos α| = 4/5.
2. Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому cos α = −4/5.
3. Находим tg α = sin α/cos α = (3/5)/(−4/5) = −3/4.
4. Находим ctg α = cos α/sin α = (−4/5)/(3/5) = −4/3.

Ответ: cos α = −4/5, tg α = −3/4, ctg α = −4/3.

Задача 3

Условие: вычислите sin 750°, cos 750°, tg 750° и ctg 750°.

1. Вычитаем два полных оборота: 750° − 720° = 30°.
2. Используем значения для 30°: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2.
3. Тогда tg 30° = (1/2)/(√3/2) = √3/3, а ctg 30° = √3.
4. Знаменатели не равны нулю, поэтому обе функции определены.

Ответ: sin 750° = 1/2, cos 750° = √3/2, tg 750° = √3/3, ctg 750° = √3.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что синус и косинус зависят от выбранной точки на луче. Так думают, потому что координаты разных точек различны. Проверьте отношения y/r и x/r: при любом выборе точки они одинаковы.

Ошибка: определять знак функции только по величине угла. Один и тот же по величине острый угол может быть связан с разными четвертями, где знаки координат различаются. Сначала найдите четверть конечной стороны, затем установите знаки x и y.

Ошибка: считать тангенс определённым при любом угле. При cos α = 0 выражение sin α/cos α означает деление на ноль. Перед вычислением проверьте знаменатель.

Ошибка: путать тангенс с котангенсом. Иногда координаты просто меняют местами или забывают, какая из них стоит в знаменателе. Запомните: tg α = y/x, а ctg α = x/y, и после записи проверьте условие ненулевого знаменателя.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны координатная плоскость, умение строить углы и определять четверть конечной стороны. Расстояние до начала координат находят с помощью теоремы Пифагора.

Определения произвольного угла расширяют знания о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе острого угла прямоугольного треугольника. Теперь функции можно использовать и для углов больше 90°.

Дальше эти функции пригодятся при решении тригонометрических уравнений, построении графиков и применении тождеств. Периодичность поможет преобразовывать большие углы.

Что запомнить

• Если точка (x, y) находится на стороне угла, а её расстояние от начала координат равно r, то sin α = y/r и cos α = x/r.
• Тангенс равен отношению синуса к косинусу, а котангенс — косинуса к синусу.
• Знаки функций определяются четвертью, в которой лежит конечная сторона угла.
• Тангенс не определён при cos α = 0; котангенс не определён при sin α = 0.
• Для любого угла sin² α + cos² α = 1.
• При добавлении к углу 360° значения синуса и косинуса не меняются; тангенса и котангенса — при добавлении 180°.