§ 74*. Задачи оптимизации

Определения и обозначения

Задача оптимизации — задача, в которой требуется найти наибольшее или наименьшее значение геометрической величины при заданных условиях. Например, условия могут фиксировать периметр фигуры или положение точек. Это определение помогает отличить поиск лучшего варианта от обычного вычисления конкретной величины.

Целевой показатель — величина, которую требуется сделать максимальной или минимальной, например площадь, длину или периметр. Его можно представить формулой, зависящей от выбранных переменных. Если не определить показатель заранее, легко начать искать не то, что требуется в условии.

Область допустимых значений — все значения переменных, которые соответствуют условию задачи. Например, длина стороны прямоугольника должна быть положительной, а сумма сторон может быть ограничена заданным периметром. Эта область показывает, какие варианты вообще разрешено сравнивать.

Оптимальное значение — наибольшее или наименьшее допустимое значение целевого показателя. Оно может достигаться при определённой фигуре или положении точки. Нужно указать и само значение, и то, при каком допустимом варианте оно получается.

Как это устроено

Сначала из условия выделяют изменяемые величины и то, что требуется оптимизировать. Например, если размеры прямоугольника меняются, его стороны удобно обозначить переменными, а площадь выбрать целевым показателем. Такой выбор нужен, чтобы перевести словесную задачу в понятную математическую модель и не смешать неизвестные с заданными величинами.

Затем используют геометрические связи между величинами, чтобы выразить целевой показатель через одну переменную. Например, если известен периметр прямоугольника, одна сторона определяется через другую, потому что сумма длин сторон фиксирована. Подстановка этой связи в формулу площади оставляет выражение с одной переменной, которое проще исследовать.

Ограничения задачи задают область допустимых значений переменной. Стороны фигуры должны быть положительными, поэтому длина стороны не может быть нулевой или отрицательной; дополнительные условия могут сузить возможный промежуток. Эти ограничения важны потому, что формула иногда имеет смысл и при значениях, которые не могут описывать фигуру из задачи.

Чтобы найти максимум или минимум, сравнивают допустимые значения целевого показателя или преобразуют его формулу. Например, запись площади как постоянного числа минус квадрат показывает, что площадь не больше этого числа: квадрат не бывает отрицательным. Так можно не перебирать все варианты по одному, а сразу увидеть границу и условие её достижения.

После вычислений проверяют, что найденная переменная допустима и действительно задаёт нужную геометрическую фигуру. Затем обосновывают, почему при любом другом допустимом значении показатель не становится лучше. Без такой проверки можно получить число, которое не отвечает условию, или лишь подходящий вариант вместо доказанного максимума либо минимума.

Основные этапы решения задач оптимизации

Пользуйся таблицей как планом: переходи к следующему этапу, когда разобрался с предыдущим. В конце вернись к условию и проверь как допустимость найденного варианта, так и доказательство оптимальности.

Разбор задач

Наибольшая площадь при заданном периметре

Задача: найти наибольшую площадь прямоугольника с периметром 20 см. Обозначим одну сторону через x, а другую выразим из условия о периметре. Нужно сравнить площади всех прямоугольников с положительными сторонами, а не только проверить один удобный вариант.

1. Из равенства 2(a + b) = 20 следует, что a + b = 10. Пусть a = x, тогда b = 10 − x, причём 0 < x < 10. Этот промежуток и есть область допустимых значений.

2. Площадь равна S = x(10 − x). Преобразуем формулу: S = 25 − (x − 5)². Так как квадрат неотрицателен, площадь не может быть больше 25 см².

3. Равенство достигается, когда (x − 5)² = 0, то есть x = 5. Тогда обе стороны равны 5 см, и найденный прямоугольник действительно допустим.

Ответ: наибольшая площадь равна 25 см²; она достигается у квадрата со стороной 5 см.

Наибольшая площадь при заданной диагонали

Задача: среди прямоугольников с диагональю 10 см найти прямоугольник наибольшей площади. Обозначим стороны через a и b, а площадь — через S = ab. Здесь стороны связаны с диагональю теоремой Пифагора, поэтому можно ограничить площадь без перебора прямоугольников.

1. По теореме Пифагора a² + b² = 10² = 100, причём a и b положительны. Для любых таких чисел верно (a − b)² ≥ 0, откуда a² + b² ≥ 2ab.

2. Значит, 2ab ≤ 100 и S = ab ≤ 50 см². Это доказывает, что площадь ни одного допустимого прямоугольника не превосходит 50 см².

3. Равенство в неравенстве получается при a = b. Тогда 2a² = 100, поэтому a = b = 5√2 см. Такой прямоугольник имеет диагональ 10 см и площадь 50 см².

Ответ: наибольшая площадь равна 50 см²; она достигается у квадрата со стороной 5√2 см.

Кратчайшая ломаная через прямую

Задача: точки A и B находятся по одну сторону от прямой l; нужно найти точку P на l, чтобы длина ломаной APB была наименьшей. Прямой отрезок AB здесь не подходит, потому что он обычно не проходит через l. Отражение одной точки позволит заменить ломаную отрезком, длину которого легко сравнить с другими.

1. Отразим B относительно прямой l и обозначим её образ B′. Для любой точки P на l расстояния PB и PB′ равны: P лежит на оси отражения и не меняет расстояния до симметричных точек.

2. Поэтому AP + PB = AP + PB′. В треугольнике APB′ сумма двух сторон не меньше третьей, значит AP + PB′ ≥ AB′.

3. Равенство возможно, когда A, P и B′ лежат на одной прямой, причём P находится на отрезке AB′. Следовательно, нужно провести AB′ и взять за P точку пересечения этого отрезка с l.

Ответ: кратчайшая ломаная получается при пересечении прямой AB′ с l; её длина равна AB′.

Типичные ошибки

Ученик находит подходящее значение и сразу записывает его как ответ. Такой вариант может оказаться самым маленьким среди проверенных, но это ещё не доказывает, что он лучший среди всех допустимых. Проверь себя: указано ли, почему любой другой вариант даёт не больший максимум или не меньший минимум?

Иногда в формулу подставляют значения переменной, которые нарушают условия, например берут нулевую или отрицательную длину стороны. Ошибка возникает, если использовать формулу, забыв о геометрическом смысле переменных. Сначала запиши допустимый промежуток, а затем проверь, попадает ли в него найденное значение.

При поиске экстремума можно рассмотреть только один частный случай, например квадрат, и объявить его оптимальным. Но сам факт, что фигура существует, не сравнивает её с остальными подходящими фигурами. Для проверки выведи неравенство или преобразуй формулу так, чтобы оно относилось ко всем допустимым вариантам.

После вычислений иногда указывают только число, забывая назвать фигуру или положение точки, при котором оно достигается. В результате ответ неполон: неизвестно, какой именно геометрический объект нужно построить. Проверь, что в заключении есть и оптимальное значение, и условие его достижения.

Связь с другими темами

Для решения задач оптимизации нужны знакомые свойства площадей и периметров, теорема Пифагора, преобразование выражений и решение уравнений. Эти знания помогают составить формулу и обосновать её наибольшее или наименьшее значение. Дальше такой подход пригодится в практических задачах о кратчайших расстояниях, наибольших площадях и рациональном выборе размеров фигур.

Что запомнить

• В задаче оптимизации ищут наибольшее или наименьшее значение величины.
• Сначала нужно определить переменные, ограничения и целевой показатель.
• Целевой показатель удобно выразить через одну переменную.
• Рассматривать нужно только допустимые значения переменной.
• Найденный результат необходимо проверить.
• Ответ должен содержать не только число, но и условие, при котором оно достигается.